История тригонометрии: возникновение и развитие. Краткий обзор развития тригонометрии Тригонометрия и история человечества

Тригонометрия возникла и развивалась в древности как один из разделов астрономии, как ее вычислительный аппарат; отвечающий практическим нуждам человека. Именно астрономия определила тот факт, что сферическая тригонометрия возникла раньше плоской.

Некоторые тригонометрические сведения были известны древним вавилонянам и египтянам, но основы этой науки заложены в Древней Греции, Древнегреческие астрономы успешно решали отдельные вопросы из тригонометрии, связанные с астрономией. Однако они рассматривали не линии синуса, косинуса и др., а хорды. Роль линии синусов угла ее у них выполняла хорда, стягивающая дугу, равную 2а.

Греческий астроном Гиппарх во II в. до н. э. составил таблицу числовых значений хорд в зависимости от величин стягиваемых ими дуг. Более полные сведения из тригонометрии содержатся в известном «Альмагесте» Птолемея.

Птолемей делилокружностьна360 градусов, а диаметр - на 120 частей. Он считал радиус равным 60 частям (60Ч). Каждую, из частей он делил на 60", а каждую минуту на 60", секунду - на 60 терций (60"") и т. д. Говоря иными словами, он воспользовался шестидесятеричной системой счисления, по всей вероятности, позаимствованной им от вавилонян. Применяя указанное деление, Птолемей выражал сторону правильного вписанного шестиугольника или хорду, стягивающую дугу в 60° в виде 60 частей радиуса (60 Ч), а сторону вписанного квадрата или хорду в 90° приравнивал числу 84 Ч 5110". Хорду в 120° - сторону вписанного равностороннего треугольника - он выражал числом 103 Ч 55"23"и т.д.

Применив известные из геометрии теоремы, ученый нашел зависимости, которые равнозначны следующим современным формулам при условии:

Воспользовавшись этими соотношениями и выраженными в частях радиуса значениями хорд 60°" и 72°, он вычислил хорду, стягивающую дугу в 6°, затем 3°; 1,5° и, наконец, -0,75°. (Значение хорды в Г он выражал приближенно.)

Сделанные расчеты позволили Птолемею составить таблицу, которая содержала хорды от 0 до 180°, вычисленные с точностью до 1" радиуса.

Эта таблица, сохранившаяся до нашего времени, равнозначна таблице синусов от 0 до 90° с шагом 0, 25° с пятью верными десятичными знаками.

Названия линий синуса и косинуса впервые были введены индийскими учеными. Они же составили первые таблицы синусов, хотя и менее точные, чем птолемеевы. В Индии и начинается по существу учение о тригонометрических величинах, названное позже гониометрией (от «гониа», - угол и «мехрио» - измеряю).

Дальнейшее развитие учение о тригонометрических величинах получило в IX-XV вв. в странах Среднего и Ближнего Востока в трудах ряда математиков, которые не только воспользовались существовавшими в то время достижениями в этой области, но и сделали свой значительный вклад в науку.

Известный Мухаммад ибн Муса ал-Хорезми (IX в.) составил таблицы синусов и котангенсов. Ал-Хабаш или (Ахмед ибн Абдаллах ал-Марвази) вычислил таблицы для тангенса, котангенса и косеканса.

Важное значение в развитии тригонометрии имели труды ал-Баттани (ок. 850-929) и Абу-л-Вафы ал-Бузджани (940-998). Последний вывел теорему синусов сферической тригонометрии, вычислил для синусов таблицу с интервалом в 15", значения в которой приведены с точностью до 8-го десятичного знака, нашел отрезки, соответствующие секансу и косекансу.

Абу Райхан Мухаммад ибн Ахмад-ал-Беруни (по другой транскрипции Бируни (973-1048)) обобщил и при этом уточнил результаты, которых достигли его предшественники в области тригонометрии. В труде «Канон Мас"уда» он изложил все известные в то время положения из тригонометрии и существенно дополнил их. Важное нововведение, предпринятое Абу-л-Вафой, подтвердил и ал-Беруни. Вместо деления радиуса на части, сделанного Птолемеем, они брали единичный радиус. Ал-Беруни подробно объяснил причину этой замены, показав, что все вычисления с единичным радиусом значительно проще.

Насир ад-Дин Мухаммад ат-Туси (1201-1274) в «Трактате о полном четырехстороннике» впервые изложил тригонометрические сведения как самостоятельный отдел математики, а не придаток к астрономии. Его трактат впоследствии оказал большое влияние на работы Региомонтана (1436-1476).

В первой половине XV в. Джемшид ибн Масуд ал-Каши вычислил с большой точностью тригонометрические таблицы с шагом в. Г, которые на протяжении 250 лет оставались непревзойденными.

В Европе XII-XV вв., после того как были переведены с арабского и греческого языков на латинский некоторые классические математические и астрономические произведения, развитие тригонометрии продолжалось. При решении плоских треугольников широко применялась теорема синусов, вновь открытая жившим в Южной Франции Львом Герсонидом (1288-1344), тригонометрия которого была в 1342 г. переведена на латинский язык. Самым видным европейским представителем этой эпохи в области тригонометрии был Региомонтан. Его обширные таблицы синусов через Г с точностью до 7-й значащей цифры и его мастерски изложенный тригонометрический труд «Пять книг о треугольниках всех видов» имели большое значение для дальнейшего развития, тригонометрии в XVI-XVII вв.

На пороге XVII в. в развитии тригонометрии намечается новое направление - аналитическое. Если до этого главной целью тригонометрии считалось решение треугольников, вычисление элементов геометрических фигур и учение о тригонометрических функциях строилось на геометрической основе, то в XVII-XIX вв. тригонометрия постепенно становится одной из глав математического анализа. Она находит широкое применение в механике, физике и технике, особенно при изучении колебательных движений и других периодических процессов. О свойстве периодичности тригонометрических функций знал еще Виет, первые математические исследования которого относились к тригонометрии. Швейцарский математик Иоганн Бернулли (1642-1727) уже применял символы тригонометрических функций. И если развитие алгебраической символики, введение отрицательных чисел и направленных отрезков содействовали расширению понятия угла и дуги, то развитие учения о колебательных движениях, о звуковых, световых и электромагнитных волнах привело к тому, что основным содержанием тригонометрии стало изучение и описание колебательных процессов. Из физики известно, что уравнение гармонического колебания (например, колебания маятника, переменного электрического тока) имеет вид:

Графиками гармонических колебаний являются синусоиды, поэтому в физике и технике сами гармонические колебания часто называют синусоидальными колебаниями.

В первой половине XIX в. французский ученый Ж. Фурье доказал, что всякое периодическое движение может быть представлено (с любой степенью точности) в виде суммы простых гармонических колебаний.

Расширение представлений о тригонометрических функциях привело к обоснованию их на новой, аналитической базе: тригонометрические функции определяются независимо от геометрии при помощи степенных рядов и других понятий математического анализа.

Развитию аналитической теории тригонометрических функций содействовали И. Ньютон и Л. Эйлер. Основоположником этой теории следует считать Л. Эйлера. Он придал всей тригонометрии современный вид. Дальнейшее развитие теории было продолжено в XIX в. Н.И.Лобачевским и другими учеными. В наше время тригонометрия больше не рассматривается как самостоятельная ветвь математики. Важнейшая ее часть - учение о тригонометрических функциях,- является частью более общего, построенного с единой точки зрения учения о функциях, изучаемых в математическом анализе; другая же часть - решение.треугольников - рассматривается как глава геометрии (плоской и сферической).

Конец работы -

Эта тема принадлежит разделу:

Доклад история возникновения тригонометрических функций

Доклад.. история возникновения тригонометрических функций.. краткий обзор развития тригонометрии тригонометрия возникла и развивалась в..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

тригонометрия

Важнейший период истории тригонометрии связан с деятельностью учёных Ближнего и Среднего Востока. Начало его можно датировать VIII в., когда в столице арабского халифата Багдаде началась активная работа по изучению индийского и греческого научного наследия. Среди успешно развивавшихся научных дисциплин были те направления астрономии и математики, в рамках которых формировалась плоская и сферическая тригонометрия.

Астрономия - одна из древнейших наук - на протяжении всего средневековья развивалась в неразрывной связи с другими дисциплинами. Необходимое в разных областях практической деятельности людей, например, при точном определении времени, составлении календаря, ориентировки на местности, измерении расстояний и т.д., она, в свою очередь, нуждалась в совершенном математическом аппарате. Именно потребности астрономии явились в тот период важнейшим стимулом быстрого прогресса математики и, в частности, разработки новых вычислительных приёмов.

Большое внимание в это время привлекала гномоника - теория солнечных часов, широко применявшихся в практике. При решении астрономических задач использовались древние графические приёмы, основанные на ортогональном проектировании сферы на плоскость. Всё большее значение приобретало учение о линиях в тригонометрическом круге.

Обобщив результаты, полученные предшественниками, учёные ближнего и Среднего востока развили тригонометрические методы и уже в XII в. фактически превратили тригонометрию в самостоятельную науку.

Прежде чем перейти к обзору тригонометрии на средневековом ближнем и Среднем востоке, следует назвать некоторых учёных, чьи труды сыграли особенно важную роль в ее истории.

Вначале необходимо упомянуть выдающихся переводчиков античной научной литературы с греческого и сирийского языка. Это работавшие в Багдаде в конце VIII - начале IX вв. Хаджжадж ибн Йусуф ибн Матар (жил между 786 и 833 гг.), математик, физик и медик Исхак ибн Хунайн 9830 - 910). Большой вклад в развитие тригонометрии внесли уроженцы Средней Азии Муххамад ибн Мусса ал-Хорезми (ок. 780 - ок.880 гг.) и Ахмад ибн Абдаллах ал-Марвази. Известный под именем Хабаш ал-Хасиб (ок. 770 - ок. 870 гг.). Первый из них прославился прежде всего сочинениями по математике: его имя связывается с созданием алгебры и с распространением арифметики, основанной на десятичной позиционной системе счисления с применением нуля. Важное значение в истории науки имел также его географический труд. Как и Хабаш ал-Хасиб, ал-Хорезми относился к виднейшим астрономам своего времени. Их сочинения пользовались огромной популярностью. Особую роль в истории тригонометрии сыграли составленные ими «зиджи».

Особое место в истории тригонометрии занимает выдающийся астроном средневекового Востока Мухаммад ибн Джабир ал-Баттани (ок. 850 - 929). Следует упомянуть также крупнейшего философа, основоположника восточного аристотелизма Абу Насра Мухаммада ал - Фараби (ок. 870 - 950 гг.).

К концу XI в. общими усилиями учёных Ближнего и Среднего Востока были заложены основы тригонометрии как самостоятельной науки. Оформлялась она и в трудах западноарабских математиков, среди которых должны быть названы Мухаммад ибн Йусуф ибн Ахмад ибн My"аз ал-Джаййани (989 - ок. 1080 гг.) и Абу Мухаммад джабир ибн Афлах (XII в.).

В XIII в. важный шаг в развитии тригонометрии сделали представители марагинской научной школы - прежде всего ее руководитель, учёный Насир ад-Дин ат-Туси (1201 - 1274 гг.) и его ученики Мухьи ад-Дин ал-Магриби и кутб ад-Дин аш-Ширази.

Средневековые учёные стран ислама продолжали в своих сочинениях традиции предшественников, наследниками которых в области точных наук они явились. Поэтому в астрономо- математической литературе этого периода, имеющей отношение к тригонометрии, четко выделяются, во-первых. Комментарии к греческим трудам (прежде всего к «Альмагесту» Птолемея и к сочинениям о сферике) и их обработки, и, во-вторых, сочинения, в которых развиваются индийские методы. Третью группу составляют труды, в которых эти методы сочетаются с греческими.

Индийское влияние сказалось в арабской тригонометрической терминологии. Линия синуса была названа джайб. Это арабизированный индийский термин джива, обозначающий хорду или тетиву лука. Косинус обозначался термином «синус дополнения». Обращённый синус называли вслед за индийцами «стрелой».

Вплоть до X - XI вв. зиджи и близкие им по характеру астрономические сочинения включались сводки основных сведений по тригонометрии и тригонометрические таблицы. Среди авторов трудов, внёсших значительный вклад в развитие науки и увеличение этого материала, были такие учёные как Абу Насар Мансур ибн Ирак и его великий ученик Абу Райхан Беруни. А работа Насир ад-Дина ат-Туси оставила важный след в истории тригонометрии.

Плоская тригонометрия излагалась, как правило, в специальных разделах астрономических сочинениях, прежде всего зиджей. Здесь приводились определения тригонометрических функций и устанавливались соотношения между ними, предлагались правила решения треугольников. Наибольшее внимание, естественно, уделялось вопросу, важному для практики, - составлению тригонометрических таблиц.

Понятие синуса и обращённого синуса встречаются - по-видимому, впервые арабоязычной литературе - в зидже ал-Хорезми. Он приводит таблицу синусов (до секунд включительно) и правило пользования ею, разъясняет, как с помощью этой таблицы найти синус и обращённый синус по данной дуге и как по данному синусу найти дугу. В качестве угловой единицы у ал-Харезми служит «знак зодиака», равный окружности круга, т.е. 30°. Значение синусов даются в частях радиуса, который принят равный 60, и выражаются в шестидесятеричных дробях.

Рис.6 рис.7

Правило определения обращённого синуса, словесно сформулированное ал-Харезми, с помощью современной математической символике можно записать так: если обозначить линию обращённого синуса дуги б через sinvers б, то

sinvers а = 60° - sin (90° - а), при б < 90°,

sinvers а = 60° + sin (90° - а), при б > 90°.

Если радиус круга, как принято сейчас, взять равным 1, то это правило примет вид sinvers б = 1 - cos б, где соответственно cos б > 0 и cos < 0.

Тангенс, котангенс, а также секанс и косеканс, введённые и табулированные тогда же, рассматривались вначале, как линии, фигурировавшие в науке о солнечных часах - гномонике.

Правило, по которому находился котангенс угла б, в современных обозначениях имеет вид

множитель 12 появляется здесь в связи с тем, что гномон подразделяется на 12 частей. Аналогично правило приводится дня тангенса, которая выражается в долях единицы

Однако уже ал-Фараби при изложении труда Птолемея не только отказался от понятия хорды, но и рассматривал линии тангенса и котангенса как линии, связанные с кругом. Тем самым он нарушил традиционную связь этих тригонометрических функций с гномоникой.

Приведём для иллюстрации цитату из его «Книги приложений к Альмагесту», содержащую определение тангенса и котангенса в связи с задачей нахождения высоты солнца: «Пусть ABCD (рис.7) - круг высоты, его центр Е, a DI - пересечение плоскостей круга, высоты и круга горизонта; DE - гномон, стоящий под прямым углом к плоскости горизонта в точке D, СК - пересечение плоскости круга высоты и плоскости, стоящий под прямым углом к горизонту в точке С, а СЕ - гномон, стоящий на этой плоскости. Зададимся дугой высоты AG. Проведём GEF, т.е.луч, соединяющий вершину гномона и конец тени; DF - тень гномона DE, называемая плоской тенью или второй тенью высоты AG, а СН - тень гномона СЕ, называемая обращённой тенью или первой тенью высоты AG» .

При этом ал-Фараби особо отмечает, что тангенс «изменяется и увеличивается с увеличением высоты солнца», а котангенс «уменьшается с увеличением этой высоты».

Но если в приведённом рассуждении связь с гномоникой ещё сильна, то далее, при нахождении величины линий тангенса и котангенса, ал-Фараби рассматривает их только как линии в круге - наряду с линией синуса и косинуса.

Где r-радиус круга.

Существенно также, что ал-Фараби выражает тангенс и котангенс (также, как синус и косинус) в далях радиуса, подразделённого на 60 частей, а не в седьмых и двенадцатых долях гномона, как было принято раньше.

Тригонометрическая функция косинус в трудах восточных математиков рассматривалась только как синус дополнения угла до 90.

Таким образом, к концу ІХ века учёные средневекового Востока знали все шесть тригонометрических функций. Соотношение между ними, которые были выведены из геометрических соображений, формулировались словесно. С помощью математической символики эти соотношения приведенные, например, ал-Баттани, будут иметь вид:

Чрезвычайно важный шаг для развития тригонометрии сделал Абу- л-Вафа ал-Бузджанни, положив г = 1 вместо б= 60. Он стал рассматривать тригонометрические функции в единичном круге и тем самым существенно облегчил вычисления. Ему же принадлежит более изящное, чем у Птолемея, доказательство соотношения, которое сейчас мы выражаем формулой

А у Ибн Йуниса встречается другое, сыгравшее существенную роль в истории тригонометрии:

Далее следуют уже известные из «Альмагеста» теоремы о хорде дополнительной дуги, хорде удвоенной дуги, хорде суммы и разности двух данных дуг, равносильные теоремам о синусе удвоенного и половинного углов, о синусе суммы и разности двух углов. Их важность отмечает Беруни.

Значительно облегчила решение треугольников доказанная в X в. теорема синусов, устанавливающая пропорциональность сторон и противолежащих углов.

Теорема косинусов а 2 = b 2 + с 2 - 2 bc cos А, где а, b, с - стороны треугольника, А - его угол, в общем виде сформулирована не была.

В данном случае измерение треугольников следует понимать как решение треугольников, т.е. определение сторон, углов и других элементов треугольника, если даны некоторые из них. Большое количество практических задач, а также задач планиметрии, стереометрии, астрономии и других приводятся к задаче решения треугольников.

Возникновение тригонометрии связано с землемерием, астрономией и строительным делом.

Хотя название науки возникло сравнительно недавно, многие относимые сейчас к тригонометрии понятия и факты были известны ещё две тысячи лет назад.

Впервые способы решения треугольников, основанные на зависимостях между сторонами и углами треугольника, были найдены древнегреческими астрономами Гиппархом (2 в. до н. э.) и Клавдием Птолемеем (2 в. н. э.). Позднее зависимости между отношениями сторон треугольника и его углами начали называть тригонометрическими функциями.

Значительный вклад в развитие тригонометрии внесли арабские ученые Аль-Батани (850-929) и Абу-ль-Вафа, Мухамед-бен Мухамед (940-998), который составил таблицы синусов и тангенсов через 10’ с точностью до 1/604. Теорему синусов уже знали индийский ученый Бхаскара (р. 1114, год смерти неизвестен) и азербайджанский астроном и математик Насиреддин Туси Мухамед (1201-1274). Кроме того, Насиреддин Туси в своей работе «Трактат о полном четырехстороннике» изложил плоскую и сферическую тригонометрию как самостоятельную дисциплину.

Длительную историю имеет понятие синус. Фактически различные отношения отрезков треугольника и окружности (а по существу, и тригонометрические функции) встречаются уже в III веке до н.э. в работах великих математиков Древней Греции – Евклида, Архимеда, Апполония Пергского. В римский период эти отношения достаточно систематично исследовались Менелаем (I век н.э.), хотя и не приобрели специального названия. Современный синус a, например, изучался как полухорда, на которую опирается центральный угол величиной a, или как хорда удвоенной дуги.

В IV-V веках появился уже специальный термин в трудах по астрономии великого индийского учёного Ариабхаты, именем которого назван первый индийский спутник Земли. Отрезок АМ (рис. 1) он назвал ардхаджива (ардха – половина, джива – тетива лука, которую напоминает хорда). Позднее появилось более краткое название джива. Арабскими математиками в IX веке это слово было заменено на арабское слово джайб (выпуклость). При переводе арабских математических текстов в веке оно было заменено латинским синус (sinus – изгиб, кривизна).

Слово косинус намного моложе. Косинус – это сокращение латинского выражения completely sinus, т. е. “дополнительный синус” (или иначе “синус дополнительной дуги”; cosa = sin(90° - a)).

Тангенсы возникли в связи с решением задачи об определении длины тени. Тангенс (а также котангенс) введен в X веке арабским математиком Абу-ль-Вафой, который составил и первые таблицы для нахождения тангенсов и котангенсов. Однако эти открытия долгое время оставались неизвестными европейским ученым, и тангенсы были заново открыты лишь в XIV веке немецким математиком, астрономом Регимонтаном (1467 г.). Он доказал теорему тангенсов. Региомонтан составил также подробные тригонометрические таблицы; благодаря его трудам плоская и сферическая тригонометрия стала самостоятельной дисциплиной и в Европе.

Название «тангенс», происходящее от латинского tanger (касаться), появилось в 1583 г. Tangens переводится как «касающийся» (линия тангенсов – касательная к единичной окружности).

Дальнейшее развитие тригонометрия получила в трудах выдающихся астрономов Николая Коперника (1473-1543) – творца гелиоцентрической системы мира, Тихо Браге (1546-1601) и Иогана Кеплера (1571-1630), а также в работах математика Франсуа Виета (1540-1603), который полностью решил задачу об определениях всех элементов плоского или сферического треугольника по трем данным.

Долгое время тригонометрия носила чисто геометрический характер, т. е. Факты, которые мы сейчас формулируем в терминах тригонометрических функций, формулировались и доказывались с помощью геометрических понятий и утверждений. Такою она была еще в средние века, хотя иногда в ней использовались и аналитические методы, особенно после появления логарифмов. Пожалуй, наибольшие стимулы к развитию тригонометрии возникали в связи с решением задач астрономии, что представляло большой практический интерес (например, для решения задач определения местонахождения судна, предсказания затемнения и т. д.). Астрономов интересовали соотношения между сторонами и углами сферических треугольников. И надо заметить, что математики древности удачно справлялись с поставленными задачами.

Начиная с XVII в., тригонометрические функции начали применять к решению уравнений, задач механики, оптики, электричества, радиотехники, для описания колебательных процессов, распространения волн, движения различных механизмов, для изучения переменного электрического тока и т. д. Поэтому тригонометрические функции всесторонне и глубоко исследовались, и приобрели важное значение для всей математики.

Аналитическая теория тригонометрических функций в основном была создана выдающимся математиком XVIII веке Леонардом Эйлером (1707-1783) членом Петербургской Академии наук. Громадное научное наследие Эйлера включает блестящие результаты, относящиеся к математическому анализу, геометрии, теории чисел, механике и другим приложениям математики. Именно Эйлер первым ввел известные определения тригонометрических функций, стал рассматривать функции произвольного угла, получил формулы приведения. После Эйлера тригонометрия приобрела форму исчисления: различные факты стали доказываться путем формального применения формул тригонометрии, доказательства стали намного компактнее проще,

Таким образом, тригонометрия, возникшая как наука о решении треугольников, со временем развилась и в науку о тригонометрических функциях.

Позднее часть тригонометрии, которая изучает свойства тригонометрических функций и зависимости между ними, начали называть гониометрией (в переводе – наука об измерении углов, от греческого gwnia - угол, metrew- измеряю). Термин гониометрия в последнее время практически не употребляется.

1.1 Этапы развития тригонометрии как науки

Тригонометрия является одним из наиболее молодых отделов элементарной математики, получивших окончательное оформление лишь в XVIII в., хотя отдельные идеи её относятся к глубокой древности, к античному миру и к математическому творчеству индусов (К. Птолемей, II в., Аль Баттани, IX в., и др.). Европейские математики достигли высокой степени совершенства в вычислении таблиц натуральных синусов и тангенсов (Региомонтанус, XV в., Ретикус и Питискус, XVI в., и др.).

Само название «тригонометрия» греческого происхождения, обозначающее «измерение треугольников»: (тригонон) – треугольник, (метрейн) – измерение.

Научная разработка тригонометрии осуществлена Л. Эйлером в его труде «Jntroductio in analysis infinitorum» (1748). Он создал тригонометрию как науку о функциях, дал ей аналитическое изложение, вывел всю совокупность формул из немногих основных формул. Обозначение сторон малыми буквами и противолежащих углов - соответствующими большими буквами позволило ему упростить все формулы, внести в них ясность и стройность. Эйлеру принадлежит мысль рассматривать тригонометрические функции как отношения соответствующих линий к радиусу круга, т. е. как числа, причём радиус круга как «полный синус» он принял за единицу. Эйлер получил ряд новых соотношений, установил связь тригонометрических функций с показательными, дал правило знаков функций для всех четвертей, получил обобщённую формулу приведения и освободил тригонометрию от многих ошибок, которые допускались почти во всех европейских учебниках математики.

Сочинение Л. Эйлера в дальнейшем послужило фундаментом для учебников тригонометрии. Одно из первых руководств, «Сокращённая математика» С. Румовского (1760), отдел «Начальные основания плоской тригонометрии», начинает изложение следующим образом: «Тригонометрия плоская есть знание через Арифметические выкладки сыскивать треугольники, которые геометрия черченьем находит». Всё изложение сводится к решению треугольников (самые простые случаи), вычисления проводятся весьма сложным путём, учение о функциях отсутствует.

Таким образом, тригонометрия возникла на геометрической основе, имела геометрический язык и применялась к решению геометрических задач. Развитие алгебраической символики позволило записывать тригонометрические соотношения в виде формул; применение отрицательных чисел позволило рассматривать направленные углы и дуги и распространить понятие тригонометрических линий (определенных отрезков в круге) для любых углов. В этот период создалась база для изучения тригонометрических функций как функций числового аргумента, основа аналитической теории тригонометрических (круговых) функций. Аналитический аппарат, позволяющий вычислять значения тригонометрических функций с любой степенью точности, был разработан Ньютоном.

Современный вид тригонометрия получила в трудах великого ученого, члена Российской академии наук Л. Эйлера (1707 – 1783). Эйлер стал рассматривать значения тригонометрических функций как числа – величины тригонометрических линий в круге, радиус которого принят за единицу («тригонометрический круг» или «единичная окружность»). Эйлер дал окончательное решение о знаках тригонометрических функций в разных четвертях, вывел все тригонометрические формулы из нескольких основных, установил несколько неизвестных до него формул, ввел единообразные обозначения. Именно в его трудах впервые встречаются записи . Он также открыл связь между тригонометрическими и показательной функциями от комплексного аргумента. На основании работ Л. Эйлера были составлены учебники тригонометрии, излагавшие ее в строгой научной последовательности.

Аналитическое (не зависящее от геометрии) построение теории тригонометрических функций, начатое Эйлером, получило завершение в трудах великого русского ученого Н.И. Лобачевского.

Современная точка зрения на тригонометрические функции как на функции числового аргумента во многом обусловлена развитием физики, механики, техники. Эти функции легли в основу математического аппарата, при помощи которого изучаются различные периодические процессы: колебательные движения, распространение волн, движения механизмов, колебание переменного электрического тока. Как показал Ж. Фурье (1768 – 1830), всякое периодическое движение с любой степенью точности можно представить в виде суммы простейших синусоидальных (гармонических) колебаний. Если в начале развития тригонометрии соотношение лишь выражало зависимость между площадями квадратов, построенных на сторонах переменного прямоугольного треугольника с гипотенузой равной 1, то в последующем это отношение стало отражать также сложение двух колебательных движений с происходящей при этом интерференцией.

Таким образом, на первоначальных стадиях своего развития тригонометрия служила средством решения вычислительных геометрических задач. Ее содержанием считалось вычисление элементов простейших геометрических фигур, то есть треугольников. Но в современной тригонометрии самостоятельное и столь же важное значение имеет изучение свойств тригонометрических функций. Этот период развития тригонометрии был подготовлен всем ходом развития механики колебательных движений, физики звуковых, световых и электромагнитных волн.

В этот период даны обобщения многим терминам тригонометрии и, в частности, выведены соотношения для , где n – натуральное число, и др. Функции и рассматриваются теперь как суммы степенных рядов:

Почти также изложен и учебник В. Никитина и П. Суворова.
Вполне научное изложение тригонометрии даёт акад. М. Е. Головин в своём учебнике «Плоская и сферическая тригонометрия с алгебраическими доказательствами», 1789. В этой книге можно найти все важнейшие формулы тригонометрии почти в том виде, в каком принято излагать их в XIX в. (за исключением обратных тригонометрических функций). Автор не нашёл нужным загромождать изложение введением секанса и косеканса, так как эти функции в редких случаях применяются на практике.
В 1804 г. выходит учебник Н. Фусса. Книга предназначена для гимназий. «Плоская тригонометрия,- говорит автор,- есть наука, имеющая предметом из трёх данных и числами изображённых частей прямолинейного треугольника определять три прочие его части». Учебник состоит из 4 равных частей. Общие понятия, решение треугольников, приложение тригонометрии к практической геометрии и геодезии и, наконец, теорема сложения. Учебник Н. Фусса отмежёвывается от сферической тригонометрии.

Шаг вперёд делает академик М. В. Остроградский в 1851 г. В своём конспекте по тригонометрии для руководства в военно-учебных заведениях он выступает как сторонник определения тригонометрических функций, на первом этапе их изучения, как отношений сторон в прямоугольном треугольнике с последующим обобщением их определения и распространением его на углы любой величины.

Комплект под редакцией А.Г. Мордковича, хотя оставлять без внимания остальные учебники тоже не стоит. § 3. Методика преподавания темы «Тригонометрические функции» в курсе алгебры и начал анализа В изучении тригонометрических функций в школе можно выделить два основных этапа: ü Первоначальное знакомство с тригонометрическими функциями...

Учащихся, школьную документацию, сделать выводы о степени усвоения данного понятия. Подвести итог об исследовании особенностей математического мышления и процесса формирования понятия комплексного числа. Описание методов. Диагностические: I этап. Беседа проводилась с учителем математики, которая в 10Є классе преподает алгебру и геометрию. Беседа состоялась по истечении некоторого времени с начала...

Синус, косинус, тангенс - при произнесении этих слов в присутствии учеников старших классов можно быть уверенным, что две трети из них потеряют интерес к дальнейшему разговору. Причина кроется в том, что основы тригонометрии в школе преподаются в полном отрыве от реальности, а потому учащиеся не видят смысла в изучении формул и теорем.

В действительности данная область знаний при ближайшем рассмотрении оказывается весьма интересной, а также прикладной - тригонометрия находит применение в астрономии, строительстве, физике, музыке и многих других областях.

Ознакомимся с основными понятиями и назовем несколько причин изучить этот раздел математической науки.

История

Неизвестно, в какой момент времени человечество начало создавать будущую тригонометрию с нуля. Однако документально зафиксировано, что уже во втором тысячелетии до нашей эры египтяне были знакомы с азами этой науки: археологами найден папирус с задачей, в которой требуется найти угол наклона пирамиды по двум известным сторонам.

Более серьезных успехов достигли ученые Древнего Вавилона. На протяжении веков занимаясь астрономией, они освоили ряд теорем, ввели особые способы измерения углов, которыми, кстати, мы пользуемся сегодня: градусы, минуты и секунды были заимствованы европейской наукой в греко-римской культуре, в которую данные единицы попали от вавилонян.

Предполагается, что знаменитая теорема Пифагора, относящаяся к основам тригонометрии, была известна вавилонянам почти четыре тысячи лет назад.

Название

Дословно термин «тригонометрия» можно перевести как «измерение треугольников». Основным объектом изучения в рамках данного раздела науки на протяжении многих веков был прямоугольный треугольник, а точнее - взаимосвязь между величинами углов и длинами его сторон (сегодня с этого раздела начинается изучение тригонометрии с нуля). В жизни нередки ситуации, когда практически измерить все требуемые параметры объекта (или расстояние до объекта) невозможно, и тогда возникает необходимость недостающие данные получить посредством расчётов.

Например, в прошлом человек не мог измерить расстояние до космических объектов, а вот попытки эти расстояния рассчитать встречаются задолго до наступления нашей эры. Важнейшую роль играла тригонометрия и в навигации: обладая некоторыми знаниями, капитан всегда мог сориентироваться ночью по звездам и скорректировать курс.

Основные понятия

Для освоения тригонометрии с нуля требуется понять и запомнить несколько основных терминов.

Синус некоторого угла - это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Уточним, что противолежащий катет - это сторона, лежащая напротив рассматриваемого нами угла. Таким образом, если угол составляет 30 градусов, синус этого угла всегда, при любом размере треугольника, будет равен ½. Косинус угла - это отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс - это отношение противолежащего катета к прилежащему (либо, что то же самое, отношение синуса к косинусу). Котангенс - это единица, деленная на тангенс.

Стоит упомянуть и знаменитое число Пи (3,14…), которое представляет собой половину длины окружности с радиусом в одну единицу.

Популярные ошибки

Люди, изучающие тригонометрию с нуля, совершают ряд ошибок - в основном по невнимательности.

Во-первых, при решении задач по геометрии необходимо помнить, что использование синусов и косинусов возможно только в прямоугольном треугольнике. Случается, что учащийся «на автомате» принимает за гипотенузу самую длинную сторону треугольника и получает неверные результаты вычислений.

Во-вторых, поначалу легко перепутать значения синуса и косинуса для выбранного угла: напомним, что синус 30 градусов численно равен косинусу 60, и наоборот. При подстановке неверного числа все дальнейшие расчёты окажутся неверными.

В-третьих, пока задача полностью не решена, не стоит округлять какие бы то ни было значения, извлекать корни, записывать обыкновенную дробь в виде десятичной. Часто ученики стремятся получить в задаче по тригонометрии «красивое» число и сразу же извлекают корень из трёх, хотя ровно через одно действие этот корень можно будет сократить.

Этимология слова «синус»

История слова «синус» поистине необычна. Дело в том, что буквальный перевод этого слова с латыни означает «впадина». Всё потому, что верное понимание слова затерялось при переводе с одного языка на другой.

Названия базовых тригонометрических функций произошли из Индии, где понятие синуса обозначалось словом «тетива» на санскрите - дело в том, что отрезок вместе с дугой окружности, на которую он опирался, походил на лук. Во времена расцвета арабской цивилизации индийские достижения в области тригонометрии были заимствованы, и термин перешел в арабский язык в виде транскрипции. Случилось так, что в этом языке уже было похожее слово, обозначающее впадину, и если арабы понимали фонетическую разницу между родным и заимствованным словом, то европейцы, переводящие научные трактаты на латынь, по ошибке буквально перевели арабское слово, никакого отношения к понятию синуса не имеющее. Им мы и пользуемся по сей день.

Таблицы значений

Существуют таблицы, в которые занесены числовые значения для синусов, косинусов и тангенсов всех возможных углов. Ниже представим данные для углов в 0, 30, 45, 60 и 90 градусов, которые необходимо выучить как обязательный раздел тригонометрии для «чайников», благо запомнить их довольно легко.

Если случилось так, что числовое значение синуса или косинуса угла «вылетело из головы», есть способ вывести его самостоятельно.

Геометрическое представление

Начертим круг, через его центр проведем оси абсцисс и ординат. Ось абсцисс располагается горизонтально, ось ординат - вертикально. Обычно они подписываются как «X» и «Y» соответственно. Теперь из центра окружности проведем прямую таким образом, чтобы между ней и осью X получился нужный нам угол. Наконец, из той точки, где прямая пересекает окружность, опустим перпендикуляр на ось X. Длина получившегося отрезка будет равна численному значению синуса нашего угла.

Данный способ весьма актуален, если вы забыли нужное значение, например, на экзамене, и учебника по тригонометрии под рукой нет. Точной цифры вы таким образом не получите, но разницу между ½ и 1,73/2 (синус и косинус угла в 30 градусов) вы точно увидите.

Применение

Одними из первых специалистов, использующих тригонометрию, были моряки, не имеющие никакого другого ориентира в открытом море, кроме неба над головой. Сегодня капитаны кораблей (самолётов и других видов транспорта) не ищут кратчайший путь по звёздам, зато активно прибегают к помощи GPS-навигации, которая без использования тригонометрии была бы невозможна.

Практически в каждом разделе физики вас ждут расчёты с использованием синусов и косинусов: будь то приложение силы в механике, расчёты пути объектов в кинематике, колебания, распространение волн, преломление света - без базовой тригонометрии в формулах просто не обойтись.

Ещё одна профессия, которая немыслима без тригонометрии - это геодезист. Используя теодолит и нивелир либо более сложный прибор - тахиометр, эти люди измеряют разницу в высоте между различными точками на земной поверхности.

Повторяемость

Тригонометрия имеет дело не только с углами и сторонами треугольника, хотя именно с этого она начинала своё существование. Во всех областях, где присутствует цикличность (биологии, медицине, физике, музыке и т. д.) вы встретитесь с графиком, название которого наверняка вам знакомо - это синусоида.

Такой график представляет собой развёрнутую вдоль оси времени окружность и внешне похож на волну. Если вы когда-нибудь работали с осциллографом на занятиях по физике, вы понимаете, о чем идет речь. Как музыкальный эквалайзер, так и прибор, отображающий сердечные ритмы, используют формулы тригонометрии в своей работе.

В заключение

Задумываясь о том, как выучить тригонометрию, большинство учащихся средней и старшей школы начинают считать её сложной и непрактичной наукой, поскольку знакомятся лишь со скучной информацией из учебника.

Что касается непрактичности - мы уже увидели, что в той или иной степени умение обращаться с синусами и тангенсами требуется практически в любой сфере деятельности. А что касается сложности… Подумайте: если люди пользовались этими знаниями больше двух тысяч лет назад, когда взрослый человек имел меньше знаний, чем сегодняшний старшеклассник, реально ли изучить данную область науки на базовом уровне лично вам? Несколько часов вдумчивых занятий с решением задач - и вы достигнете своей цели, изучив базовый курс, так называемую тригонометрию для «чайников».