Таблица иррациональных чисел. Рациональное и иррациональное число: описание и чем они отличаются? Общее понятие рационального числа

Пример:
\(4\) - рациональное число,т.к.его можно записать как \(\frac{4}{1}\) ;
\(0,0157304\) - тоже рациональное,т.к.его можно записать в виде \(\frac{157304}{10000000}\) ;
\(0,333(3)…\)-и это рациональное число: можно представить как \(\frac{1}{3}\) ;
\(\sqrt{\frac{3}{12}}\) - рациональное, так как можно представить как \(\frac{1}{2}\) . Действительно, мы можем провести цепочку преобразований \(\sqrt{\frac{3}{12}}\) \(=\)\(\sqrt{\frac{1}{4}}\) \(=\) \(\frac{1}{2}\)

Иррациональное число – это число, которое невозможно записать в виде дроби с целыми числителем и знаменателем.

Невозможно, потому что это бесконечные дроби, да еще и непериодические. Поэтому нет таких целых чисел, которые бы поделившись друг на друга, дали бы иррациональное число.

Пример:
\(\sqrt{2}≈1,414213562…\) -иррациональное число;
\(π≈3,1415926… \) -иррациональное число;
\(\log_{2}{5}≈2,321928…\)-иррациональное число.

Пример (Задание из ОГЭ ). Значение, какого из выражений является числом рациональным?
1) \(\sqrt{18}\cdot\sqrt{7}\);
2)\((\sqrt{9}-\sqrt{14})(\sqrt{9}+\sqrt{14})\);
3) \(\frac{\sqrt{22}}{\sqrt{2}}\) ;
4) \(\sqrt{54}+3\sqrt{6}\).

Решение:

1) \(\sqrt{18}\cdot \sqrt{7}=\sqrt{9\cdot 2\cdot 7}=3\sqrt{14}\) – корень из \(14\) взять нельзя, значит и представить число в виде дроби с целыми числами тоже нельзя, следовательно число иррационально.

2) \((\sqrt{9}-\sqrt{14})(\sqrt{9}+\sqrt{14})= (\sqrt{9}^2-\sqrt{14}^2)=9-14=-5\) – корней не осталось, число легко представить в виде дроби, например такой \(\frac{-5}{1}\) , значит оно рациональное.

3) \(\frac{\sqrt{22}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{22}{2}}=\sqrt{\frac{11}{1}}=\sqrt{11}\) –корень нельзя извлечь - число иррациональное.

4) \(\sqrt{54}+3\sqrt{6}=\sqrt{9\cdot 6}+3\sqrt{6}=3\sqrt{6}+3\sqrt{6}=6\sqrt{6}\) – тоже иррациональное.

А свои корни они извлекли из латинского слова «ratio», что означает «разум». Исходя из дословного перевода:

• Рациональное число — это «разумное число».
• Иррациональное число, соответственно, «неразумное число».

Общее понятие рационального числа

Рациональным числом считается то число, которое можно записать в виде:

1. Обыкновенной положительной дроби.
2. Отрицательной обыкновенной дроби.
3. В виде числа нуль (0).

Иными словами, к рациональному число подойдет следующие определения:

• Любое натуральное число является по своей сути рациональным, так как любое натуральное число можно представить в виде обыкновенной дроби.
• Любое целое число, включительно число нуль, так как любое целое число можно записать как ввиде положительной обыкновенной дроби, в виде отрицательной обыкновенной дроби, так и ввиде числа нуль.
• Любая обыкновенная дробь, и здесь не имеет значение положительная она или отрицательная, тоже напрямую подходит к определению рационального числа.
• Так же в определение можно отнести и смешанное число, конечную десятичную дробь либо бесконечную периодическую дробь.

Примеры рационального числа

Рассмотрим примеры рациональных чисел:

• Натуральные числа — «4», «202», «200».
• Целые числа — «-36», «0», «42».
• Обыкновенные дроби.

Из вышеперечисленных примеров совершенно очевидно, что рациональные числа могут быть как положительными так и отрицательными . Естественно, число 0 (нуль), которое тоже в свою очередь является рациональным числом, в тоже время не относится к категории положительного или отрицательного числа.

Отсюда, хотелось бы напомнить общеобразовательную программу с помощью следующего определения: «Рациональными числами» — называются те числа, которые можно записать в виде дроби х/у, где х (числитель) — целое число, а у (знаменатель) — натуральное число.

Общее понятие и определение иррационального числа

Помимо «рациональных чисел» нам известны и так называемые «иррациональные числа». Вкратце попробуем дать определение данным числам.

Еще древние математики, желая вычислить диагональ квадрата по его сторонам, узнали о существовании иррационального числа.
Исходя из определения о рациональных числах, можно выстроить логическую цепь и дать определение иррациональному числу.
Итак, по сути, те действительные числа, которые не являются рациональными, элементарно и есть иррациональными числами.
Десятичные дроби же, выражающие иррациональные числа, не периодичны и бесконечны.

Примеры иррационального числа

Рассмотрим для наглядности небольшой пример иррационально числа. Как мы уже поняли, бесконечные десятичные непериодические дроби называются иррациональными, к примеру:

• Число «-5,020020002… (прекрасно видно, что двойки разделены последовательностью из одного, двух, трех и т.д. нулей)
• Число «7,040044000444… (здесь ясно, что число четверок и количество нулей каждый раз цепочкой увеличивается на единицу).
• Всем известное число Пи (3,1415…). Да, да — оно тоже является иррациональным.

Вообще все действительные числа являются как рациональными так и иррациональными. Говоря простыми словами, иррациональное число нельзя представить ввиде обыкновенной дроби х/у.

Общее заключение и краткое сравнение между числами

Мы рассмотрели каждое число по отдельности, осталось отличие между рациональным числом и иррациональным:

1. Иррациональное число встречается при извлечении квадратного корня, при делении окружности на диаметр и т.д.
2. Рациональное число представляет обыкновенную дробь.

Заключим нашу статью несколькими определениями:

• Арифметическая операция, произведенная над рациональным числом, кроме деления на 0 (нуль), в конечном результате приведет тоже к рациональному числу.
• Конечный результат же, при совершении арифметической операции над иррациональным числом, может привести как к рациональному так и к иррациональному значению.
• Если же в арифметической операции принимают участие и те и другие числа (кроме деления или умножения на нуль), то результат нам выдаст иррациональное число.

Множество всех натуральных чисел обозначают буквой N. Натуральные числа, это числа которые мы используем для счета предметов: 1,2,3,4, … В некоторых источниках, к натуральным числам относят также число 0.

Множество всех целых чисел обозначается буквой Z. Целые числа это все натуральные числа, нуль и отрицательные числа:

1,-2,-3, -4, …

Теперь присоединим к множеству всех целых чисел множество всех обыкновенных дробей: 2/3, 18/17, -4/5 и та далее. Тогда мы получим множество всех рациональных чисел.

Множество рациональных чисел

Множество всех рациональных чисел обозначается буквой Q. Множество всех рациональных чисел (Q) - это множество, состоящее из чисел вида m/n, -m/n и числа 0. В качестве n,m может выступать любое натуральное число. Следует отметить, что все рациональные числа, можно представить в виде конечной или бесконечной ПЕРЕОДИЧЕСКОЙ десятичной дроби. Верно и обратное, что любую конечную или бесконечную периодическую десятичную дробь можно записать в виде рационального числа.

А как же быть например с числом 2.0100100010… ? Оно является бесконечно НЕПЕРЕОДИЧСЕКОЙ десятичной дробью. И оно не относится к рациональным числам.

В школьном курсе алгебры изучаются только вещественные (или действительные) числа. Множество всех действительных чисел обозначается буквой R. Множество R состоит из всех рациональных и всех иррациональных чисел.

Понятие иррациональных чисел

Иррациональные числа - это все бесконечные десятичные непериодические дроби. Иррациональные числа не имеют специального обозначения.

Например, все числа полученные извлечением квадратного корня из натуральных чисел, не являющихся квадратами натуральных чисел - будут иррациональными. (√2, √3, √5, √6, и т.д.).

Но не стоит думать, что иррациональные числа получаются только извлечением квадратных корней. Например, число «пи» тоже является иррациональным, а оно получено делением. И как вы не старайтесь, вы не сможете получить его, извлекая квадратный корень из любого натурального числа.

С отрезком единичной длины, знали уже древние математики: им была известна, например, несоизмеримость диагонали и стороны квадрата, что равносильно иррациональности числа .

Иррациональными являются:

Примеры доказательства иррациональности

Корень из 2

Допустим противное: рационален , то есть представляется в виде несократимой дроби , где и - целые числа . Возведём предполагаемое равенство в квадрат:

Отсюда следует, что чётно, значит, чётно и . Пускай , где целое. Тогда

Следовательно, чётно, значит, чётно и . Мы получили, что и чётны, что противоречит несократимости дроби . Значит, исходное предположение было неверным, и - иррациональное число.

Двоичный логарифм числа 3

Допустим противное: рационален , то есть представляется в виде дроби , где и - целые числа . Поскольку , и могут быть выбраны положительными. Тогда

Но чётно, а нечётно. Получаем противоречие.

e

История

Концепция иррациональных чисел была неявным образом воспринята индийскими математиками в VII веке до нашей эры, когда Манава (ок. 750 г. до н. э. - ок. 690 г. до н. э.) выяснил, что квадратные корни некоторых натуральных чисел, таких как 2 и 61, не могут быть явно выражены.

Первое доказательство существования иррациональных чисел обычно приписывается Гиппасу из Метапонта (ок. 500 гг. до н. э.), пифагорейцу , который нашёл это доказательство, изучая длины сторон пентаграммы. Во времена пифагорейцев считалось, что существует единая единица длины, достаточно малая и неделимая, которая целое число раз входит в любой отрезок. Однако Гиппас обосновал, что не существует единой единицы длины, поскольку предположение о её существовании приводит к противоречию. Он показал, что если гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника содержит целое число единичных отрезков, то это число должно быть одновременно и четным, и нечетным. Доказательство выглядело следующим образом:

• Отношение длины гипотенузы к длине катета равнобедренного прямоугольного треугольника может быть выражено как a :b , где a и b выбраны наименьшими из возможных.
• По теореме Пифагора: a ² = 2b ².
• Так как a ² четное, a должно быть четным (так как квадрат нечетного числа был бы нечетным).
• Поскольку a :b несократима, b обязано быть нечетным.
• Так как a четное, обозначим a = 2y .
• Тогда a ² = 4y ² = 2b ².
• b ² = 2y ², следовательно b ² четное, тогда и b четно.
• Однако было доказано, что b нечетное. Противоречие.

Греческие математики назвали это отношение несоизмеримых величин алогос (невыразимым), однако согласно легендам не воздали Гиппасу должного уважения. Существует легенда, что Гиппас совершил открытие, находясь в морском походе, и был выброшен за борт другими пифагорейцами «за создание элемента вселенной, который отрицает доктрину, что все сущности во вселенной могут быть сведены к целым числам и их отношениям». Открытие Гиппаса поставило перед пифагорейской математикой серьёзную проблему, разрушив лежавшее в основе всей теории предположение, что числа и геометрические объекты едины и неразделимы.

См. также

Примечания

Какие числа являются иррациональными? Иррациональное число — это не рациональное вещественное число, т.е. оно не может быть представлено как дробь (как отношение двух целых чисел), где m — целое число, n — натуральное число . Иррациональное число можно представить как бесконечную непериодическую десятичную дробь.

Иррациональное число не может иметь точного значения. Только в формате 3,333333…. Например , квадратный корень из двух - является числом иррациональным.

Какое число иррациональное? Иррациональным числом (в отличии от рациональных) называется бесконечная десятичная непериодическая дробь.

Множество иррациональных чисел зачастую обозначают заглавной латинской буквой в полужирном начертании без заливки. Т.о.:

Т.е. множество иррациональных чисел это разность множеств вещественных и рациональных чисел.

Свойства иррациональных чисел.

• Сумма 2-х неотрицательных иррациональных чисел может быть рациональным числом.
• Иррациональные числа определяют дедекиндовы сечения в множестве рациональных чисел, в нижнем классе у которых нет самого большого числа, а в верхнем нет меньшего.
• Всякое вещественное трансцендентное число - это иррациональное число.
• Все иррациональные числа являются или алгебраическими, или трансцендентными.
• Множество иррациональных чисел везде плотно на числовой прямой: меж каждой парой чисел есть иррациональное число.
• Порядок на множестве иррациональных чисел изоморфен порядку на множестве вещественных трансцендентных чисел.
• Множество иррациональных чисел бесконечно, является множеством 2-й категории.
• Результатом каждой арифметической операции с рациональными числами (кроме, деления на 0) является рациональные числа. Результатом арифметических операций над иррациональными числами может стать как рациональное, так и иррациональное число.
• Сумма рационального и иррационального чисел всегда будет иррациональным числом.
• Сумма иррациональных чисел может быть рациональным числом. Например, пусть x иррациональное, тогда y=x*(-1) тоже иррациональное; x+y=0, а число 0 рациональное (если, например, сложить корень любой степени из 7 и минус корень такой же степени из семи, то получим рациональное число 0).

Иррациональные числа, примеры.

γ — ζ (3) — ρ — √2 — √3 — √5 — φ — δs — α — e — π — δ