Čo je Brownov pohyb

Tento pohyb sa vyznačuje nasledujúcimi vlastnosťami:

• pokračuje donekonečna bez akejkoľvek viditeľnej zmeny,
• intenzita pohybu Brownových častíc závisí od ich veľkosti, ale nezávisí od ich povahy,
• intenzita sa zvyšuje so zvyšujúcou sa teplotou,
• intenzita sa zvyšuje s klesajúcou viskozitou kvapaliny alebo plynu.

Brownov pohyb nie je molekulárny pohyb, ale slúži ako priamy dôkaz existencie molekúl a chaotickej povahy ich tepelného pohybu.

Podstata Brownovho pohybu

Podstata tohto pohybu je nasledovná. Častica spolu s molekulami kvapaliny alebo plynu tvoria jeden štatistický systém. V súlade s teorémou o rovnomernom rozdelení energie v stupňoch voľnosti predstavuje každý stupeň voľnosti 1/2 kT energie. Energia 2/3 kT na tri translačné stupne voľnosti častice vedie k pohybu jej ťažiska, ktorý je pozorovaný pod mikroskopom vo forme chvenia častice. Ak je Brownova častica dostatočne tuhá, potom ďalšie 3/2 kT energie pripadajú na jej rotačné stupne voľnosti. Svojím chvením preto zažíva aj neustále zmeny orientácie v priestore.

Brownov pohyb je možné vysvetliť nasledovne: príčinou Brownovho pohybu je kolísanie tlaku, ktorý na povrch malej častice pôsobia molekuly média. Zmena sily a tlaku v module a smere, v dôsledku čoho je častica v náhodnom pohybe.

Pohyb Brownovej častice je náhodný proces. Pravdepodobnosť (dw), že Brownova častica, ktorá bola v počiatočnom čase (t=0) v pôvodnom čase v homogénnom izotropnom prostredí, sa posunie pozdĺž ľubovoľne nasmerovanej (v t$>$0) osi Ox tak, že jej súradnice budú ležať v intervale od x do x + dx sa rovná:

kde $\trojuholník x$ je malá zmena súradníc častice v dôsledku fluktuácie.

Zvážte polohu Brownovej častice v určitých pevných časových intervaloch. Počiatok súradníc umiestnime do bodu, kde bola častica v t=0. Nech $\overrightarrow(q_i)$ označuje vektor, ktorý charakterizuje pohyb častice medzi pozorovaniami (i-1) a i. Po n pozorovaniach sa častica presunie z nulovej polohy do bodu s polomerovým vektorom $\overrightarrow(r_n)$. kde:

\[\overrightarrow(r_n)=\sum\limits^n_(i=1)(\overrightarrow(q_i))\left(2\right).\]

Pohyb častice prebieha pozdĺž komplexnej prerušovanej čiary po celý čas pozorovania.

Nájdite priemernú druhú mocninu odstránenia častice od začiatku po n krokoch vo veľkej sérii experimentov:

\[\left\langle r^2_n\right\rangle =\left\langle \sum\limits^n_(i,j=1)(q_iq_j)\right\rangle =\sum\limits^n_(i=1) (\left\langle (q_i)^2\right\rangle )+\sum\limits^n_(i\ne j)(\left\langle q_iq_j\right\rangle )\left(3\right)\]

kde $\left\langle q^2_i\right\rangle $ je priemerná druhá mocnina posunutia častice v i-tom kroku v sérii experimentov (je rovnaká pre všetky kroky a rovná sa nejakej kladnej hodnote a2) , $\left\langle q_iq_j\ right\rangle $- je priemerná hodnota skalárny súčin pri i-tý krok o posune v j-tom kroku v rôznych experimentoch. Tieto množstvá sú navzájom nezávislé, kladné aj záporné hodnoty skalárneho súčinu sú rovnako bežné. Preto predpokladáme, že $\left\langle q_iq_j\right\rangle $=0 pre $\ i\ne j$. Potom máme z (3):

\[\left\langle r^2_n\right\rangle =a^2n=\frac(a^2)(\triangle t)t=\alpha t=\left\langle r^2\right\rangle \left( 4\vpravo),\]

kde $\trojuholník t$ je časový interval medzi pozorovaniami; t=$\trojuholník tn$ - čas, počas ktorého sa stredná druhá mocnina odstránenia častice rovnala $\left\langle r^2\right\rangle .$ Dostaneme, že častica sa vzďaľuje od počiatku. Je nevyhnutné, aby priemerná štvorec úberu rástla úmerne k prvej mocnine času. $\alpha \ $- možno nájsť experimentálne alebo teoreticky, ako bude ukázané v príklade 1.

Brownova častica sa pohybuje nielen dopredu, ale aj rotuje. Priemerná hodnota uhla rotácie $\trojuholník \varphi $ Brownovej častice za čas t je:

\[(\triangle \varphi )^2=2D_(vr)t(5),\]

kde $D_(vr)$ je rotačný difúzny koeficient. Pre sférickú Brownovu časticu s polomerom - $D_(vr)\ $ sa rovná:

kde $\eta $ je koeficient viskozity média.

Brownov pohyb obmedzuje presnosť meracie prístroje. Hranica presnosti zrkadlového galvanometra je určená chvením zrkadla, ako je Brownova častica, ktorá je zasiahnutá molekulami vzduchu. Náhodný pohyb elektrónov spôsobuje šum v elektrických sieťach.

Príklad 1

Úloha: Aby ste mohli matematicky úplne charakterizovať Brownov pohyb, musíte nájsť $\alpha $ vo vzorci $\left\langle r^2_n\right\rangle =\alpha t$. Zvážte známy viskozitný koeficient kvapaliny b, teplotu kvapaliny T.

Zapíšme si pohybovú rovnicu Brownovej častice v projekcii na os Ox:

kde m je hmotnosť častice, $F_x$ je náhodná sila pôsobiaca na časticu, $b\dot(x)$ je člen rovnice charakterizujúci treciu silu pôsobiacu na časticu v kvapaline.

Rovnice pre veličiny súvisiace s inými súradnicovými osami majú podobný tvar.

Vynásobíme obe strany rovnice (1.1) x a transformujeme výrazy $\ddot(x)x\ a\ \dot(x)x$:

\[\ddot(x)x=\ddot(\left(\frac(x^2)(2)\right))-(\dot(x))^2,\dot(x)x=(\frac (x^2)(2)\)(1,2)\]

Potom sa rovnica (1.1) zredukuje na tvar:

\[\frac(m)(2)(\ddot(x^2))-m(\bodka(x))^2=-\frac(b)(2)\left(\bodka(x^2) \right)+F_xx\ (1.3)\]

Spriemerujme obe časti tejto rovnice cez súbor Brownových častíc, berúc do úvahy, že priemer časovej derivácie sa rovná derivácii stredná veľkosť, pretože ide o spriemerovanie súboru častíc, a preto ho preusporiadame operáciou diferenciácie vzhľadom na čas. Ako výsledok spriemerovania (1.3) dostaneme:

\[\frac(m)(2)\left(\left\langle \ddot(x^2)\right\range \right)-\left\langle m(\dot(x))^2\right\rangle =-\frac(b)(2)\left(\bodka (\vľavo\uholník x^2\vpravo\uholník )\vpravo)+\vľavo\uholník F_xx\vpravo\uholník \ \ľavý(1,4\vpravo). \]

Keďže odchýlky Brownovej častice v akomkoľvek smere sú rovnako pravdepodobné, potom:

\[\left\langle x^2\right\rangle =\left\langle y^2\right\rangle =\left\langle z^2\right\rangle =\frac(\left\langle r^2\right \rangle )(3)\vľavo (1,5\vpravo)\]

Pomocou $\left\langle r^2_n\right\rangle =a^2n=\frac(a^2)(\triangle t)t=\alpha t=\left\langle r^2\right\rangle $, získať $\left\langle x^2\right\rangle =\frac(\alpha t)(3)$, teda: $\dot(\left\langle x^2\right\rangle )=\frac(\alpha ) (3)$, $\vľavo\uholník \ddot(x^2)\vpravo\uholník =0$

Kvôli náhodnej povahe sily $F_x$ a súradnice x častice a ich vzájomnej nezávislosti musí platiť rovnosť $\left\langle F_xx\right\rangle =0$, potom (1.5) sa zníži na rovnosť:

\[\left\langle m(\dot(\left(x\right)))^2\right\rangle =\frac(\alpha b)(6)\left(1.6\right).\]

Podľa vety o rovnomernom rozdelení energie v stupňoch voľnosti:

\[\left\langle m(\dot(\left(x\right)))^2\right\rangle =kT\left(1,7\right).\] \[\frac(\alpha b)(6) =kT\to \alpha =\frac(6kT)(b).\]

Takto získame vzorec na riešenie problému Brownovho pohybu:

\[\left\langle r^2\right\rangle =\frac(6kT)(b)t\]

Odpoveď: Vzorec $\left\langle r^2\right\rangle =\frac(6kT)(b)t$ rieši problém Brownovho pohybu suspendovaných častíc.

Príklad 2

Úloha: Gummigutové častice guľového tvaru s polomerom r sa podieľajú na Brownovom pohybe v plyne. Hustota gummigutu $\rho $. Nájdite strednú kvadratúru rýchlosti častíc gumy pri teplote T.

Stredná kvadratická rýchlosť molekúl je:

\[\left\langle v^2\right\rangle =\sqrt(\frac(3kT)(m_0))\left(2.1\right)\]

Brownova častica je v rovnováhe s hmotou, v ktorej sa nachádza, a jej efektívnu rýchlosť môžeme vypočítať pomocou vzorca pre rýchlosť molekúl plynu, ktoré zase pohybujú Brownovou časticou. Najprv zistime hmotnosť častice:

\[\left\langle v^2\right\rangle =\sqrt(\frac(9kT)(4\pi R^3\rho ))\]

Odpoveď: Rýchlosť častice gumy suspendovanej v plyne možno nájsť ako $\left\langle v^2\right\rangle =\sqrt(\frac(9kT)(4\pi R^3\rho ))$ .

Brownov pohyb - Náhodný pohyb mikroskopických častíc pevnej látky, viditeľných, suspendovaných v kvapaline alebo plyne, spôsobený tepelným pohybom častíc kvapaliny alebo plynu. Brownov pohyb sa nikdy nezastaví. Brownov pohyb súvisí s tepelným pohybom, ale tieto pojmy by sa nemali zamieňať. Brownov pohyb je dôsledkom a dôkazom existencie tepelného pohybu.

Brownov pohyb je najzrejmejším experimentálnym potvrdením myšlienok molekulárnej kinetickej teórie o chaotickom tepelnom pohybe atómov a molekúl. Ak je pozorovací interval dostatočne veľký na to, aby sily pôsobiace na časticu z molekúl média mnohokrát zmenili svoj smer, potom je priemerná štvorec priemetu jej posunutia na ľubovoľnú os (pri absencii iných vonkajších síl) úmerné času.
Pri odvodzovaní Einsteinovho zákona sa predpokladá, že posuny častíc v akomkoľvek smere sú rovnako pravdepodobné a že zotrvačnosť Brownovej častice môže byť zanedbaná v porovnaní s vplyvom trecích síl (to je prijateľné na dostatočne dlhé časy). Vzorec pre koeficient D je založený na aplikácii Stokesovho zákona pre hydrodynamický odpor voči pohybu gule s polomerom a vo viskóznej kvapaline. Vzťahy pre a D boli experimentálne potvrdené meraniami J. Perrina a T. Svedberga. Z týchto meraní sa experimentálne určí Boltzmannova konštanta k a Avogadrova konštanta NA. Okrem translačného Brownovho pohybu existuje aj rotačný Brownov pohyb - náhodná rotácia Brownovej častice pod vplyvom dopadov molekúl média. Pre rotačný Brownov pohyb je rms uhlový posun častice úmerný času pozorovania. Tieto vzťahy potvrdili aj Perrinove experimenty, hoci tento efekt je oveľa ťažšie pozorovať ako translačný Brownov pohyb.

Podstata javu

Brownov pohyb nastáva v dôsledku skutočnosti, že všetky kvapaliny a plyny pozostávajú z atómov alebo molekúl - najmenších častíc, ktoré sú v neustálom chaotickom tepelnom pohybe, a preto neustále tlačia Brownovu časticu z rôznych strán. Zistilo sa, že veľké častice väčšie ako 5 µm sa prakticky nezúčastňujú na Brownovom pohybe (sú nehybné alebo sedimentované), menšie častice (menej ako 3 µm) sa progresívne pohybujú po veľmi zložitých trajektóriách alebo rotujú. Keď je veľké teleso ponorené do média, otrasy, ktoré sa vyskytujú vo veľkom počte, sa spriemerujú a vytvárajú konštantný tlak. Ak je veľké teleso zo všetkých strán obklopené médiom, potom je tlak prakticky vyrovnaný, zostáva iba Archimedesova zdvíhacia sila - takéto teleso sa hladko vznáša nahor alebo klesá. Ak je teleso malé, ako Brownova častica, potom sa stanú viditeľnými kolísanie tlaku, ktoré vytvára nápadnú náhodne sa meniacu silu, čo vedie k osciláciám častice. Brownove častice zvyčajne neklesajú ani neplávajú, ale sú suspendované v médiu.

Brownova teória pohybu

V roku 1905 Albert Einstein vytvoril molekulárnu kinetickú teóriu na kvantitatívny popis Brownovho pohybu, najmä odvodil vzorec pre difúzny koeficient sférických Brownových častíc:

kde D- difúzny koeficient, R je univerzálna plynová konštanta, T je absolútna teplota, N A je Avogadrova konštanta, a- polomer častíc, ξ - dynamická viskozita.

Brownov pohyb ako nemarkovovský
náhodný proces

Teória Brownovho pohybu, dobre vyvinutá v minulom storočí, je približná. A hoci vo väčšine prípadov praktického významu poskytuje existujúca teória uspokojivé výsledky, v niektorých prípadoch si môže vyžadovať objasnenie. Experimentálne práce uskutočnené na začiatku 21. storočia na Polytechnickej univerzite v Lausanne, Texaskej univerzite a v Európskom laboratóriu molekulárnej biológie v Heidelbergu (pod vedením S. Dzheneyho) teda ukázali rozdiel v správaní Browniana. častice od teoreticky predpovedanej teóriou Einsteina-Smoluchowského, čo bolo obzvlášť viditeľné pri náraste veľkosti častíc. Štúdie sa dotkli aj analýzy pohybu okolitých častíc média a preukázali významný vzájomný vplyv pohybu Brownovej častice a ňou spôsobeného pohybu častíc média na seba, tj. prítomnosť „pamäte“ v Brownovej častici, alebo, inými slovami, závislosť jej štatistických charakteristík v budúcnosti od celej prehistórie jej správania v minulosti. Táto skutočnosť nebola zohľadnená v teórii Einstein-Smoluchowski.
Proces Brownovho pohybu častice vo viskóznom prostredí vo všeobecnosti patrí do triedy nemarkovských procesov a pre jeho presnejší popis je potrebné použiť integrálne stochastické rovnice.

« Fyzika - 10. ročník

Pripomeňte si fenomén difúzie z fyzikálneho kurzu základnej školy.
Ako možno tento jav vysvetliť?

Predtým ste sa naučili čo difúzia, teda prienik molekúl jednej látky do medzimolekulového priestoru inej látky. Tento jav je určený náhodným pohybom molekúl. To môže vysvetliť napríklad skutočnosť, že objem zmesi vody a alkoholu je menší ako objem jej zložiek.

Najzrejmejší dôkaz pohybu molekúl však možno získať pozorovaním najmenších častíc akejkoľvek pevnej látky suspendovanej vo vode pod mikroskopom. Tieto častice sa pohybujú náhodne, čo je tzv Brownian.

Brownov pohyb- ide o tepelný pohyb častíc suspendovaných v kvapaline (alebo plyne).

Pozorovanie Brownovho pohybu.

Anglický botanik R. Brown (1773-1858) prvýkrát pozoroval tento jav v roku 1827, keď pod mikroskopom skúmal spóry machu suspendované vo vode.

Neskôr uvažoval o ďalších malých čiastočkách, vrátane čiastočiek kameňa z egyptských pyramíd. Teraz sa na pozorovanie Brownovho pohybu používajú častice gummigutovej farby, ktorá je nerozpustná vo vode. Tieto častice sa pohybujú náhodne. Najvýraznejšie a najneobvyklejšie pre nás je, že tento pohyb sa nikdy nezastaví. Sme zvyknutí na to, že každé pohybujúce sa teleso sa skôr či neskôr zastaví. Brown si spočiatku myslel, že spóry machu palice vykazujú známky života.

Brownov pohyb je tepelný pohyb a nemôže sa zastaviť. So zvyšujúcou sa teplotou sa zvyšuje jej intenzita.

Obrázok 8.3 ukazuje trajektórie Brownových častíc. Polohy častíc označených bodkami sa určujú v pravidelných intervaloch 30 s. Tieto body sú spojené rovnými čiarami. V skutočnosti je trajektória častíc oveľa komplikovanejšia.

Vysvetlenie Brownovho pohybu.

Brownov pohyb možno vysvetliť iba na základe molekulárno-kinetickej teórie.

„Máloktorý jav dokáže zaujať pozorovateľa tak ako Brownov pohyb. Tu môže pozorovateľ nahliadnuť do zákulisia diania v prírode. Otvára sa pred ním nový svet – nepretržitý zhon obrovského množstva častíc. Najmenšie častice rýchlo vletia do zorného poľa mikroskopu a takmer okamžite zmenia smer pohybu. Väčšie častice sa pohybujú pomalšie, ale tiež neustále menia smer. Veľké častice prakticky narážajú na miesto. Na ich výbežkoch je zreteľne vidieť rotáciu častíc okolo svojej osi, ktorá neustále mení smer v priestore. Nikde ani stopa po systéme alebo poriadku. Dominancia slepej náhody - to je to, čo tento obraz vytvára na pozorovateľa silný, ohromujúci dojem. R. Paul (1884-1976).

Dôvodom Brownovho pohybu častice je, že dopady molekúl kvapaliny na časticu sa navzájom nerušia.

Obrázok 8.4 schematicky znázorňuje polohu jednej Brownovej častice a jej najbližších molekúl.

Keď sa molekuly pohybujú náhodne, impulzy, ktoré prenášajú na Brownovu časticu, napríklad zľava a sprava, nie sú rovnaké. Preto je výsledná tlaková sila molekúl kvapaliny na Brownovu časticu nenulová. Táto sila spôsobuje zmenu pohybu častice.

Molekulárno-kinetickú teóriu Brownovho pohybu vytvoril v roku 1905 A. Einstein (1879-1955). Zostrojenie teórie Brownovho pohybu a jej experimentálne potvrdenie francúzskym fyzikom J. Perrinom napokon zavŕšilo víťazstvo molekulárno-kinetickej teórie. V roku 1926 dostal J. Perrin nobelová cena na štúdium štruktúry hmoty.

Perrinove experimenty.

Myšlienka Perrinových experimentov je nasledovná. Je známe, že koncentrácia molekúl plynu v atmosfére klesá s výškou. Ak by nedošlo k tepelnému pohybu, potom by všetky molekuly dopadli na Zem a atmosféra by zanikla. Ak by však Zem nebola priťahovaná, molekuly by v dôsledku tepelného pohybu opustili Zem, pretože plyn je schopný neobmedzenej expanzie. Pôsobením týchto protichodných faktorov sa vytvorí určité rozloženie molekúl pozdĺž výšky, t.j. koncentrácia molekúl s výškou pomerne rýchlo klesá. Navyše, čím väčšia je hmotnosť molekúl, tým rýchlejšie klesá ich koncentrácia s výškou.

Brownove častice sa podieľajú na tepelnom pohybe. Keďže ich interakcia je zanedbateľná, súhrn týchto častíc v plyne alebo kvapaline možno považovať za ideálny plyn s veľmi ťažkými molekulami. V dôsledku toho musí koncentrácia Brownových častíc v plyne alebo kvapaline v gravitačnom poli Zeme klesať podľa rovnakého zákona ako koncentrácia molekúl plynu. Tento zákon je známy.

Perrin pomocou mikroskopu s veľkým zväčšením a malou hĺbkou ostrosti (malá hĺbka ostrosti) pozoroval Brownove častice vo veľmi tenkých vrstvách kvapaliny. Výpočtom koncentrácie častíc v rôznych výškach zistil, že táto koncentrácia klesá s výškou podľa rovnakého zákona ako koncentrácia molekúl plynu. Rozdiel je v tom, že kvôli veľkej hmotnosti Brownových častíc dochádza k poklesu veľmi rýchlo.

Všetky tieto skutočnosti svedčia o správnosti teórie Brownovho pohybu a o tom, že Brownove častice sa podieľajú na tepelnom pohybe molekúl.

Počítanie Brownových častíc v rôznych výškach umožnilo Perrinovi určiť Avogadrovu konštantu úplne novým spôsobom. Hodnota tejto konštanty sa zhodovala s predtým známou konštantou.

Brownov pohyb

Žiaci 10 „B“ triedy

Onischuk Jekaterina

Koncept Brownovho pohybu

Vzorce Brownovho pohybu a aplikácie vo vede

Pojem Brownovho pohybu z pohľadu teórie chaosu

pohyb biliardovej gule

Integrácia deterministických fraktálov a chaosu

Koncept Brownovho pohybu

Brownov pohyb, správnejšie Brownov pohyb, tepelný pohyb častíc hmoty (s rozmermi niekoľkých mikrón a menej) suspendované v časticiach kvapaliny alebo plynu. Dôvodom Brownovho pohybu je séria nekompenzovaných impulzov, ktoré Brownova častica dostáva z okolitých molekúl kvapaliny alebo plynu. Objavený R. Brownom (1773 - 1858) v roku 1827. Suspendované častice, viditeľné iba pod mikroskopom, sa pohybujú nezávisle od seba a opisujú zložité kľukaté trajektórie. Brownov pohyb časom neoslabuje a nezávisí od chemické vlastnostiživotné prostredie. Intenzita Brownovho pohybu sa zvyšuje so zvyšovaním teploty média a so znižovaním jeho viskozity a veľkosti častíc.

Dôsledné vysvetlenie Brownovho pohybu podali A. Einstein a M. Smoluchowski v rokoch 1905-06 na základe molekulárnej kinetickej teórie. Podľa tejto teórie sú molekuly kvapaliny alebo plynu v neustálom tepelnom pohybe a impulzy rôznych molekúl nie sú rovnaké vo veľkosti a smere. Ak je povrch častice umiestnenej v takomto médiu malý, ako je to v prípade Brownovej častice, potom dopady, ktoré častica zažívajú od okolitých molekúl, nebudú presne kompenzované. Preto v dôsledku „bombardovania“ molekulami sa Brownova častica začne náhodne pohybovať a mení veľkosť a smer svojej rýchlosti približne 10 14-krát za sekundu. Pri pozorovaní Brownovho pohybu je pevný (pozri obr. . 1) polohu častice v pravidelných intervaloch. Samozrejme, medzi pozorovaniami sa častica nepohybuje priamočiaro, ale spojenie po sebe nasledujúcich pozícií priamkami dáva podmienený obraz pohybu.

Brownov pohyb častíc gumy vo vode (obr. 1)

Zákonitosti Brownovho pohybu

Vzory Brownovho pohybu slúžia ako jasné potvrdenie základných ustanovení molekulárnej kinetickej teórie. Celkový obraz Brownovho pohybu popisuje Einsteinov zákon pre strednú druhú mocninu posunu častíc

Tu D- difúzny koeficient, ktorý je určený odporom, ktorý vyvíja viskózne médium na časticu, ktorá sa v ňom pohybuje. Pre sférické častice s polomerom a sa rovná:

D = kT/6pha, (2)

kde k je Boltzmannova konštanta, T - absolútna teplota, h - dynamická viskozita média. Teória Brownovho pohybu vysvetľuje náhodný pohyb častice pôsobením náhodných síl od molekúl a trecích síl. Náhodný charakter sily znamená, že jej pôsobenie za časový interval t 1 je úplne nezávislé od pôsobenia za interval t 2, ak sa tieto intervaly neprekrývajú. Sila spriemerovaná za dostatočne dlhý čas je nula a priemerné posunutie Brownovej častice Dc sa tiež ukáže ako nula. Závery teórie Brownovho pohybu sú vo výbornej zhode s experimentom, vzorce (1) a (2) potvrdili merania J. Perrina a T. Svedberga (1906). Na základe týchto vzťahov boli experimentálne určené Boltzmannova konštanta a Avogadroovo číslo v súlade s ich hodnotami získanými inými metódami. Teória Brownovho pohybu zohrala dôležitú úlohu pri založení štatistickej mechaniky. Okrem toho má aj praktický význam. V prvom rade Brownov pohyb obmedzuje presnosť meracích prístrojov. Napríklad hranica presnosti odčítania zrkadlového galvanometra je určená chvením zrkadla, ako je Brownova častica bombardovaná molekulami vzduchu. Zákony Brownovho pohybu určujú náhodný pohyb elektrónov, čo spôsobuje šum v elektrických obvodoch. Dielektrické straty v dielektrikách sa vysvetľujú náhodnými pohybmi molekúl dipólu, ktoré tvoria dielektrikum. Náhodné pohyby iónov v roztokoch elektrolytov zvyšujú ich elektrický odpor.

Pojem Brownovho pohybu z pohľadu teórie chaosu

Brownov pohyb je napríklad náhodný a chaotický pohyb prachových častíc suspendovaných vo vode. Tento typ pohybu je možno tým aspektom fraktálnej geometrie, ktorý má najviac praktické využitie. Náhodný Brownov pohyb vytvára frekvenčný vzor, ​​ktorý možno použiť na predpovedanie vecí zahŕňajúcich veľké množstvo údajov a štatistík. dobrý príklad sú ceny vlny predpovedané Mandelbrotom pomocou Brownovho pohybu.

Frekvenčné diagramy vytvorené vykreslením z Brownových čísel je možné previesť aj na hudbu. Samozrejme, tento typ fraktálnej hudby nie je vôbec hudobný a dokáže poslucháča poriadne unaviť.

Náhodným vykreslením Brownovho čísla môžete získať fraktál prachu, ako je ten, ktorý je tu uvedený ako príklad. Okrem použitia Brownovho pohybu na vytváranie fraktálov z fraktálov sa dá použiť aj na vytváranie krajiny. Mnoho sci-fi filmov, ako napríklad Star Trek, použilo Brownovu pohybovú techniku ​​na vytvorenie mimozemskej krajiny, ako sú kopce a topologické obrázky vysokých náhorných plošín.

Tieto techniky sú veľmi účinné a možno ich nájsť v Mandelbrotovej knihe The Fractal Geometry of Nature. Mandelbrot použil Brownove čiary na vytvorenie pohľadu na fraktálne pobrežia a ostrovné mapy z vtáčej perspektívy (čo boli v skutočnosti len náhodne nakreslené bodky).

POHYB BLIARDOVEJ GULE

Každý, kto niekedy vzal do ruky tágo, vie, že presnosť je kľúčom k hre. Najmenšia chyba v uhle prvotného dopadu môže už po niekoľkých kolíziách rýchlo viesť k obrovskej chybe v polohe lopty. Táto citlivosť na počiatočné podmienky, nazývaná chaos, predstavuje neprekonateľnú bariéru pre každého, kto dúfa, že predpovedá alebo kontroluje trajektóriu lopty po viac ako šiestich alebo siedmich kolíziách. A nemyslite si, že problém spočíva v prachu na stole alebo v nestabilnej ruke. V skutočnosti, ak použijete svoj počítač na zostavenie modelu obsahujúceho biliardový stôl, ktorý nemá žiadne trenie, neľudskú kontrolu nad presnosťou polohovania tága, stále nebudete schopní predpovedať dráhu lopty dostatočne dlho!

Ako dlho? Čiastočne to závisí od presnosti vášho počítača, ale skôr od tvaru stola. Pre absolútne okrúhly stôl, môžete vypočítať až približne 500 kolízií s chybou približne 0,1 percenta. Ale stojí za to zmeniť tvar stola tak, aby bol aspoň trochu nepravidelný (oválny) a nepredvídateľnosť trajektórie môže presiahnuť 90 stupňov už po 10 zrážkach! Jediný spôsob, ako získať obraz o všeobecnom správaní sa biliardovej gule odrážajúcej sa od prázdneho stola, je vykresliť uhol odrazu alebo dĺžku oblúka zodpovedajúceho každému zásahu. Tu sú dve po sebe nasledujúce zväčšenia takéhoto fázovo-priestorového vzoru.

Každá jednotlivá slučka alebo rozptyl predstavuje správanie lopty vyplývajúce z jednej sady počiatočných podmienok. Oblasť obrázka, ktorá zobrazuje výsledky konkrétneho experimentu, sa nazýva oblasť atraktora pre danú množinu počiatočných podmienok. Ako je možné vidieť, tvar tabuľky použitej na tieto experimenty je hlavnou časťou atraktorových oblastí, ktoré sa postupne opakujú v klesajúcom meradle. Teoreticky by takáto sebapodobnosť mala pokračovať navždy a ak by sme kresbu stále viac a viac zväčšovali, dostali by sme všetky rovnaké formy. Tomu sa dnes hovorí veľmi populárne slovo fraktál.

INTEGRÁCIA DETERMINISTICKÝCH FRAKTÁLOV A CHAOSU

Z vyššie uvedených príkladov deterministických fraktálov je vidieť, že nevykazujú žiadne chaotické správanie a že sú v skutočnosti veľmi predvídateľné. Ako viete, teória chaosu používa fraktál na opätovné vytvorenie alebo nájdenie vzorov, aby predpovedala správanie mnohých systémov v prírode, ako je napríklad problém migrácie vtákov.

Teraz sa pozrime, ako sa to v skutočnosti deje. Pomocou fraktálu nazývaného Pytagorov strom, o ktorom sa tu nehovorí (ktorý, mimochodom, nevynašiel Pythagoras a nemá nič spoločné s Pytagorovou vetou) a Brownovho pohybu (ktorý je chaotický), skúsme vytvoriť imitáciu skutočný strom. Usporiadanie listov a vetiev na strome je pomerne zložité a náhodné a pravdepodobne to nie je niečo dosť jednoduché, čo dokáže napodobniť krátky 12-riadkový program.

Najprv musíte vygenerovať Pytagorovský strom (vľavo). Je potrebné, aby bol kmeň hrubší. V tomto štádiu sa Brownov pohyb nepoužíva. Namiesto toho sa teraz každý úsečka stal líniou symetrie pre obdĺžnik, ktorý sa stal kmeňom a vetvami vonku.

Brownov pohyb je nepretržitý, konštantný chaotický pohyb častíc suspendovaných v kvapaline (alebo plyne). Teraz používaný názov dostal fenomén na počesť svojho objaviteľa, anglického botanika R. Browna. V roku 1827 uskutočnil experiment, v dôsledku ktorého bol objavený Brownov pohyb. Vedec tiež upozornil na skutočnosť, že častice sa nielen pohybujú životné prostredie ale aj otáčať okolo vlastnej osi. Keďže v tom čase ešte nebola vytvorená molekulárna teória štruktúry hmoty, Brown nemohol tento proces úplne analyzovať.

Moderné pohľady

V súčasnosti sa verí, že Brownov pohyb je spôsobený zrážkou častíc suspendovaných v kvapaline alebo plyne s molekulami látky, ktorá ich obklopuje. Posledne menované sú v neustálom pohybe, nazývanom termálne. Práve tie spôsobujú chaotický pohyb častíc, ktoré tvoria akúkoľvek látku. Je dôležité poznamenať, že s týmto javom sú spojené ďalšie dva: Brownov pohyb, ktorý popisujeme, a difúzia (prenikanie častíc jednej látky do druhej). Tieto procesy by sa mali posudzovať ako celok, pretože sa navzájom vysvetľujú. Takže v dôsledku zrážok s okolitými molekulami sú častice suspendované v médiu v nepretržitom pohybe, čo je tiež chaotické. Chaotika sa prejavuje v nestálosti, a to ako v smere, tak v rýchlosti.

Z hľadiska termodynamiky

Je známe, že so zvyšujúcou sa teplotou sa zvyšuje aj rýchlosť Brownovho pohybu. Táto závislosť sa dá ľahko vysvetliť rovnicou na opis priemernej kinetickej energie pohybujúcej sa častice: E=mv 2 =3kT/2, kde m je hmotnosť častice, v je rýchlosť častice, k je Boltzmannova konštanta a T je vonkajšia teplota. Ako vidíme, druhá mocnina rýchlosti suspendovanej častice je priamo úmerná teplote, preto so zvyšujúcou sa teplotou vonkajšieho prostredia rastie aj rýchlosť. Všimnite si, že základným princípom, na ktorom je rovnica založená, je rovnosť priemernej kinetickej energie pohybujúcej sa častice s kinetickou energiou častíc, ktoré tvoria médium (teda kvapalina alebo plyn, v ktorých je suspendovaná). Túto teóriu sformulovali A. Einstein a M. Smoluchowski približne v rovnakom čase, nezávisle od seba.

Pohyb Brownových častíc

Častice suspendované v kvapaline alebo plyne sa pohybujú po kľukatej dráhe a postupne sa vzďaľujú od počiatočného bodu pohybu. Einstein a Smoluchowski opäť prišli k záveru, že pre štúdium pohybu Brownovej častice nie je prvoradá prejdená vzdialenosť ani skutočná rýchlosť, ale jej priemerný posun za určité časové obdobie. Rovnica navrhnutá Einsteinom je nasledovná: r2 = 6kTBt. V tomto vzorci je r priemerný posun suspendovanej častice, B je jej pohyblivosť (táto hodnota je naopak nepriamo úmerná viskozite média a veľkosti častíc), t je čas. V dôsledku toho je rýchlosť suspendovanej častice tým vyššia, čím je nižšia viskozita média. Platnosť rovnice experimentálne dokázal francúzsky fyzik J. Perrin.