Що таке Броунівський рух

Цей рух характеризується такими характеристиками:

• триває необмежено довго без будь-яких видимих ​​змін,
• інтенсивність руху броунівських частинок залежить від їх розмірів, але не залежить від їхньої природи,
• інтенсивність зростає зі зростанням температури,
• інтенсивність зростає із зменшенням в'язкості рідини чи газу.

Броунівський рух не є молекулярним рухом, але є безпосереднім доказом існування молекул та хаотичного характеру їх теплового руху.

Сутність Броунівського руху

Сутність цього руху у наступному. Частка разом із молекулами рідини чи газу утворюють одну статистичну систему. Відповідно до теореми про рівномірний розподіл енергії за ступенем свободи на кожний ступінь свободи припадає 1/2kT енергії. Енергія 2/3kT, що припадає на три поступальні ступені свободи частинки, призводить до руху її центру мас, що спостерігається під мікроскопом у вигляді тремтіння частинки. Якщо броунівська частка досить жорстка, то ще 3/2kT енергії припадає на її обертальні ступені свободи. Тому за свого тремтіння вона відчуває ще й постійні зміни орієнтування у просторі.

Можна пояснити броунівський рух і так: причиною Броунівського руху є флуктуація тиску, який виявляється на поверхню малої частки з боку молекул середовища. Сила і тиск змінюється за модулем і напрямом, внаслідок чого частка знаходиться в безладному русі.

Рух броунівської частки є випадковим процесом. Імовірність (dw) того, що броунівська частка, що знаходилася в однорідному ізотропному середовищі в початковий момент часу (t=0) на початку координат, зміститься вздовж довільно спрямованої (при $$0) осі Ox так, що її координата лежатиме в інтервалі від x до x+dx, дорівнює:

де $\triangle x$- мала зміна координати частки, внаслідок флуктуації.

Розглянемо становище Броунівської частки через деякі фіксовані часові відтинки. Початок координат помістимо в точку, в якій частка знаходилася при t=0. Позначимо $\overrightarrow(q_i)$ -- вектор , який характеризує переміщення частки між (i-1) та i спостереженнями. Після закінчення n спостережень частка зміститься з нульового положення в точку з радіус-вектором $ \ overrightarrow (r_n) $. При цьому:

\[\overrightarrow(r_n)=\sum\limits^n_(i=1)(\overrightarrow(q_i))\left(2\right).\]

Переміщення частки відбувається за складною ламаною лінією весь час спостережень.

Знайдемо середній квадрат видалення частки від початку після n кроків у великій серії дослідів:

\[\left\langle r^2_n\right\rangle =\left\langle \sum\limits^n_(i,j=1)(q_iq_j)\right\rangle =\sum\limits^n_(i=1) (\left\langle (q_i)^2\right\rangle )+\sum\limits^n_(i\ne j)(\left\langle q_iq_j\right\rangle )\left(3\right)\]

де $\left\langle q^2_i\right\rangle $- середній квадрат зміщення частинки на i-му кроці в серії дослідів (він для всіх кроків однаковий і дорівнює якійсь позитивній величині a2), $\left\langle q_iq_j\ right\rangle $- є середньою величиною скалярного творупри i-му кроціна переміщення при j-му кроці у різних дослідах. Ці величини незалежні одна від одної, однаково часто зустрічаються як позитивні значення скалярного твору, і негативні. Тому, вважаємо, що $ \ left \ langle q_iq_j \ right \ rangle $ = 0 при $ \ i \ ne j $. Тоді маємо з (3):

\[\left\langle r^2_n\right\rangle =a^2n=\frac(a^2)(\triangle t)t=\alpha t=\left\langle r^2\right\rangle \left( 4\right),\]

де $ triangle t $ - проміжок часу між спостереженнями; t=$\triangle tn$ - час, протягом якого середній квадрат видалення частки став дорівнює $\left\langle r^2\right\rangle .$ Отримуємо, що частка віддаляється від початку. Істотно те, що середній квадрат видалення зростає пропорційно до першого ступеня часу. $ \ alpha \ $ - можна знайти експериментально, а можна теоретично, як буде показано в прикладі 1.

Броунівська частка рухається не тільки поступово, а й обертаючись. Середнє значення кута повороту $ triangle \ varphi $ броунівської частки за час t дорівнює:

\[(\triangle \varphi )^2=2D_(vr)t(5),\]

де $D_(vr)$ - коефіцієнт обертальної дифузії. Для сферичної броунівської частки радіусу - $D_(vr)\ $ дорівнює:

де $ \ eta $ - коефіцієнт в'язкості середовища.

Броунівський рух обмежує точність вимірювальних приладів. Межа точності дзеркального гальванометра визначається тремтіння дзеркальця, подібно до броунівської частки, яка піддається ударам молекул повітря. Випадковий рух електронів викликає шуми в електричних мережах.

Приклад 1

Завдання: Для того, щоб математично повно охарактеризувати броунівський рух, треба знайти $ \ alpha $ у формулі $ \ left \ langle r ^ 2_n \ right \ rangle = \ alpha t $. Вважати коефіцієнт в'язкості рідини відомим і рівним b температура рідини T.

Запишемо рівняння руху броунівської частки у проекції на вісь Ox:

де m - маса частинки, $ F_x $ - випадкова сила, що діє на частку, $ b \ dot (x) $ - член рівняння, що характеризує силу тертя, що діє на частку в рідині.

Аналогічний вигляд мають рівняння для величин, що належать до інших координатних осей.

Помножимо обидві частини рівняння (1.1) на x, а члени $\ddot(x)x\ і \dot(x)x$ перетворимо:

\[\ddot(x)x=\ddot(\left(\frac(x^2)(2)\right))-(\dot(x))^2,\dot(x)x=(\frac (x^2)(2)\)(1.2)\]

Тоді рівняння (1.1) наведемо до вигляду:

\[\frac(m)(2)(\ddot(x^2))-m(\dot(x))^2=-\frac(b)(2)\left(\dot(x^2) \right)+F_xx\ (1.3)\]

Середнім обидві частини цього рівняння по ансамблю броунівських частинок, враховуючи при цьому, що середня від похідної за часом дорівнює похідній від середньої величини, оскільки це усереднення ансамблю частинок, і, отже, переставимо операцією диференціювання за часом. В результаті усереднення (1.3) отримуємо:

\[\frac(m)(2)\left(\left\langle \ddot(x^2)\right\rangle \right)-\left\langle m(\dot(x))^2\right\rangle =-\frac(b)(2)\left(\dot(\left\langle x^2\right\rangle )\right)+\left\langle F_xx\right\rangle \ \left(1.4\right). \]

Оскільки відхилення броунівської частки у будь-якому напрямку рівноймовірні, то:

\[\left\langle x^2\right\rangle =\left\langle y^2\right\rangle =\left\langle z^2\right\rangle =\frac(\left\langle r^2\right \rangle )(3)\left(1.5\right)\]

Використовуємо $\left\langle r^2_n\right\rangle =a^2n=\frac(a^2)(\triangle t)t=\alpha t=\left\langle r^2\right\rangle $, отримуємо $\left\langle x^2\right\rangle = frac(\alpha t)(3)$, отже: $\dot(\left\langle x^2\right\rangle )=\frac(\alpha ) (3)$, $\left\langle \ddot(x^2)\right\rangle =0$

Через випадковий характер сили $F_x$ і координати частки x та їх незалежності один від одного має виконуватися рівність $\left\langle F_xx\right\rangle =0$, тоді (1.5) зводиться до рівності:

\[\left\langle m(\dot(\left(x\right)))^2\right\rangle =\frac(\alpha b)(6)\left(1.6\right).\]

За теоремою про рівномірний розподіл енергії за ступенями свободи:

\[\left\langle m(\dot(\left(x\right)))^2\right\rangle =kT\left(1.7\right).\] \[\frac(\alpha b)(6) =kT\to \alpha =\frac(6kT)(b).\]

Таким чином, отримаємо формулу для розв'язання задачі про Броунівський рух:

\[\left\langle r^2\right\rangle =\frac(6kT)(b)t\]

Відповідь: Формула $ \ left \ langle r ^ 2 \ right \ rangle = \ frac (6kT) (b) t $ вирішує задачу про броунівський рух зважених частинок.

Приклад 2

Завдання: Частинки гуммігуту сферичної форми радіусу r беруть участь у броунівському русі в газі. Щільність гуммігуту $rho$. Знайти середньоквадратичну швидкість частинок гуммігуту за температури T.

Середньоквадратична швидкість молекул дорівнює:

\[\left\langle v^2\right\rangle =\sqrt(\frac(3kT)(m_0))\left(2.1\right)\]

Броунівська частка знаходиться в рівновазі з речовиною, в якій вона знаходиться, і ми можемо розрахувати її середньоквадратичну швидкість, використовуючи формулу швидкості молекул газу, які, у свою чергу, рухаючись, змушують переміщатися броунівську частинку. Для початку знайдемо масу частки:

\[\left\langle v^2\right\rangle =\sqrt(\frac(9kT)(4\pi R^3\rho ))\]

Відповідь: Швидкість частинки гуммігута зваженого в газі можна знайти як $\left\langle v^2\right\rangle = sqrt(\frac(9kT)(4\pi R^3\rho ))$.

Броунівський рух - безладний рух мікроскопічних видимих, зважених у рідині або газі частинок твердої речовини, що викликається тепловим рухом частинок рідини або газу. Броунівський рух ніколи не припиняється. Броунівський рух пов'язаний з тепловим рухом, але не слід змішувати ці поняття. Броунівський рух є наслідком та свідченням існування теплового руху.

Броунівський рух - найбільш наочне експериментальне підтвердження уявлень молекулярно-кінетичної теорії про хаотичний тепловий рух атомів та молекул. Якщо проміжок спостереження досить великий, щоб сили, що діють на частинку з боку молекул середовища, багато разів змінювали свій напрямок, то середній квадрат проекції її зміщення на якусь вісь (без інших зовнішніх сил) пропорційний часу.
При виведенні закону Ейнштейна передбачається, що усунення частки у будь-якому напрямі рівноймовірні і що можна знехтувати інерцією броунівської частки проти впливом сил тертя (це припустимо досить великих часів). Формула для коефіцієнта D заснована на застосуванні закону Стокса для гідродинамічного опору руху сфери радіусом у в'язкій рідині. Співвідношення для D були експериментально підтверджені вимірами Ж. Перрена (J. Perrin) і T. Сведберга (T. Svedberg). З цих вимірів експериментально визначено постійну Больцману k і Авогадро постійну NА. Крім поступального Броунівського руху, існує також обертальний Броунівський рух – безладне обертання броунівської частки під впливом ударів молекул середовища. Для обертального Броунівського руху середнє квадратичне кутове зміщення частки пропорційне до часу спостереження. Ці співвідношення були також підтверджені дослідами Перрена, хоча цей ефект набагато важче спостерігати, ніж поступальний Броунівський рух.

Сутність явища

Броунівський рух відбувається через те, що всі рідини та гази складаються з атомів або молекул - найдрібніших частинок, які знаходяться в постійному хаотичному тепловому русі, і тому безперервно штовхають броунівську частинку з різних боків. Було встановлено, що великі частинки з розмірами більше 5 мкм у броунівському русі практично не беруть участь (вони нерухомі або седиментують), дрібніші частинки (менше 3 мкм) рухаються поступально вельми складними траєкторіями або обертаються. Коли середу занурено велике тіло, то поштовхи, які у величезній кількості, усереднюються і формують постійний тиск. Якщо велике тіло оточене середовищем з усіх боків, тиск практично врівноважується, залишається тільки підйомна сила Архімеда - таке тіло плавно спливає або тоне. Якщо ж тіло дрібне, як броунівська частка, то стають помітні флуктуації тиску, які створюють помітну силу, що випадково змінюється, що призводить до коливань частки. Броунівські частки зазвичай не тонуть і спливають, а перебувають у середовищі у зваженому стані.

Теорія броунівського руху

В 1905 Альбертом Ейнштейном була створена молекулярно-кінетична теорія для кількісного опису броунівського руху. Зокрема, він вивів формулу для коефіцієнта дифузії сферичних броунівських частинок:

де D- Коефіцієнт дифузії, R- універсальна газова постійна, T- Абсолютна температура, N A- постійна Авогадро, а- радіус частинок, ξ - динамічна в'язкість.

Броунівський рух як немарківський
випадковий процес

Добре розроблена за останнє століття теорія броунівського руху є наближеною. І хоча у більшості практично важливих випадків існуюча теорія дає задовільні результати, у деяких випадках вона може вимагати уточнення. Так, експериментальні роботи, проведені на початку XXI століття в Політехнічному університеті Лозанни, Університеті Техасу та Європейської молекулярно-біологічної лабораторії в Гейдельберзі (під керівництвом С. Дженей) показали відмінність поведінки броунівської частки від теоретично передбачуваного теорією Емолштейна збільшення розмірів частинок. Дослідження стосувалися також аналізу руху навколишніх частинок середовища і показали істотний взаємний вплив руху броунівської частки і викликаний нею рух частинок середовища один на одного, тобто наявність «пам'яті» у броунівської частинки, або, іншими словами, залежність її статистичних характеристик у майбутньому від усієї передісторії її поведінки у минулому. Цей факт не враховувався теоретично Ейнштейна - Смолуховського.
Процес броунівського руху частки у в'язкому середовищі, взагалі кажучи, відноситься до класу немарківських процесів, і для більш точного його опису необхідне використання інтегральних стохастичних рівнянь.

« Фізика – 10 клас»

Згадайте з курсу фізики основної школи явище дифузії.
Чим можна пояснити це явище?

Раніше ви дізналися, що таке дифузія, Т. е. проникнення молекул однієї речовини в міжмолекулярний простір іншої речовини. Це визначається безладним рухом молекул. Цим можна пояснити, наприклад, той факт, що об'єм суміші води і спирту менше обсягу складових її компонентів.

Але найочевидніший доказ руху молекул можна отримати, спостерігаючи в мікроскоп дрібні, зважені у воді частинки будь-якої твердої речовини. Ці частинки роблять безладний рух, який називають броунівським.

Броунівський рух- Це тепловий рух зважених у рідині (або газі) частинок.

Спостереження броунівського руху.

Англійський ботанік Р. Броун (1773-1858) вперше спостерігав це явище в 1827 р., розглядаючи в мікроскоп зважені у воді суперечки плауна.

Пізніше він розглядав інші дрібні частинки, зокрема частинки каменю з єгипетських пірамід. Зараз для спостереження броунівського руху використовують частинки фарби гуммігут, яка є нерозчинною у воді. Ці частинки роблять безладний рух. Найдивовижнішим і незвичним для нас є те, що цей рух ніколи не припиняється. Адже ми звикли до того, що будь-яке тіло, що рухається, рано чи пізно зупиняється. Броун спочатку думав, що суперечки плауна виявляють ознаки життя.

Броунівський рух - тепловий рух, і він не може припинитися. Зі збільшенням температури інтенсивність його зростає.

На малюнку 8.3 наведено траєкторії руху броунівських частинок. Положення частинок, зазначені точками, визначені через рівні проміжки часу – 30 с. Ці точки з'єднані прямими лініями. Насправді траєкторія частинок набагато складніша.

Пояснення броунівського руху.

Пояснити броунівський рух можна лише на основі молекулярно-кінетичної теорії.

«Небагато явищ здатні так захопити спостерігача, як броунівський рух. Тут спостерігачеві дозволяється заглянути за лаштунки того, що відбувається в природі. Перед ним відкривається новий світ - безупинна метушня величезної кількості частинок. Швидко пролітають у поле зору мікроскопа найдрібніші частинки, майже миттєво змінюючи напрямок руху. Повільніше просуваються більші частинки, але вони постійно змінюють напрямок руху. Великі частки практично товчуться дома. Їхні виступи явно показують обертання частинок навколо своєї осі, яка постійно змінює напрямок у просторі. Ніде немає і сліду системи чи порядку. Панування сліпого випадку - ось яке сильне, переважне враження справляє ця картина на спостерігача». R. Поль (1884–1976).

Причина броунівського руху частинки полягає в тому, що удари молекул рідини про частинку не компенсують один одного.

На малюнку 8.4 схематично показано положення однієї броунівської частки та найближчих до неї молекул.

При безладному русі молекул передані ними броунівській частинці імпульси, наприклад ліворуч і праворуч, неоднакові. Тому відмінна від нуля результуюча сила тиску молекул рідини на частину броунів. Ця сила і викликає зміну руху частки.

Молекулярно-кінетична теорія броунівського руху була створена 1905 р. А. Ейнштейном (1879-1955). Побудова теорії броунівського руху та її експериментальне підтвердження французьким фізиком Ж. Перреном остаточно завершили перемогу молекулярно-кінетичної теорії. У 1926 р. Ж. Перрен отримав Нобелівську преміюдослідження структури речовини.

Досліди Перрена.

Ідея дослідів Перрена ось у чому. Відомо, що концентрація молекул газу атмосфері зменшується з висотою. Якби не було теплового руху, то всі молекули впали на Землю і атмосфера зникла б. Однак якби не було тяжіння до Землі, то за рахунок теплового руху молекули залишали б Землю, оскільки газ здатний до необмеженого розширення. Внаслідок дії цих протилежних факторів встановлюється певний розподіл молекул по висоті, тобто концентрація молекул досить швидко зменшується з висотою. Причому що більше маса молекул, то швидше з висотою зменшується їх концентрація.

Броунівські частки беруть участь у тепловому русі. Так як їхня взаємодія зневажливо мало, то сукупність цих частинок у газі або рідині можна розглядати як ідеальний газ з дуже важких молекул. Отже, концентрація броунівських частинок у газі чи рідини на полі тяжкості Землі має зменшуватися за тим самим законом, як і концентрація молекул газу. Закон цей відомий.

Перрен за допомогою мікроскопа великого збільшення і малої глибини поля зору (малої глибини різкості) спостерігав броунівські частки дуже тонких шарах рідини. Підраховуючи концентрацію частинок на різних висотах, він знайшов, що ця концентрація зменшується з висотою за тим самим законом, що і концентрація молекул газу. Відмінність у цьому, що рахунок великої маси броунівських частинок спадання відбувається дуже швидко.

Всі ці факти свідчать про правильність теорії броунівського руху та про те, що броунівські частки беруть участь у тепловому русі молекул.

Підрахунок броунівських частинок різних висотах дозволив Перрену визначити постійну Авогадро абсолютно новим методом. Значення цієї постійної збіглося з раніше відомим.

Броунівський рух

Учениці 10 "В" класу

Оніщук Катерини

Поняття Броунівського руху

Закономірності Броунівського руху та застосування в науці

Поняття Броунівського руху з погляду теорії Хаосу

Рух більярдної кульки

Інтеграція детермованих фракталів та хаос

Поняття броунівського руху

Броунівський рух, правильніший браунівський рух, тепловий рух частинок речовини (розмірами в кількох мкмі менше), що знаходяться у зваженому стані в рідині або газі частинок. Причиною броунівського руху є ряд не скомпенсованих імпульсів, які отримує броунівська частка від навколишніх молекул рідини або газу. Відкрито Р. Броуном (1773 - 1858) в 1827. Видимі лише під мікроскопом зважені частинки рухаються незалежно один від одного і описують складні зигзагоподібні траєкторії. Броунівський рух не слабшає з часом і не залежить від хімічних властивостейсередовища. Інтенсивність Броунівського руху збільшується зі зростанням температури середовища та зі зменшенням її в'язкості та розмірів частинок.

Послідовне пояснення Броунівського руху було дано А. Ейнштейном та М. Смолуховським у 1905-06 на основі молекулярно-кінетичної теорії. Відповідно до цієї теорії, молекули рідини або газу знаходяться в постійному тепловому русі, причому імпульси різних молекул неоднакові за величиною та напрямом. Якщо поверхня частинки, поміщеної в таке середовище, мала, як це має місце для броунівської частки, то удари, що зазнають часткою з боку навколишніх молекул, не будуть точно компенсуватися. Тому в результаті "бомбардування" молекулами броунівська частка приходить у безладний рух, змінюючи величину та напрямок своєї швидкості приблизно 10 14 разів на сек. При спостереженні Броунівського руху фіксується (див. . 1) становище частки через рівні проміжки часу. Звичайно, між спостереженнями частка рухається не прямолінійно, але з'єднання послідовних положень прямими лініями дає умовну картину руху.

Броунівський рух частинки гуммігуту у воді (Рис.1)

Закономірності Броунівського руху

Закономірності Броунівського руху є наочним підтвердженням фундаментальних положень молекулярно-кінетичної теорії. Загальна картина Броунівського руху описується законом Ейнштейна для середнього квадрата усунення частки

Тут D- коефіцієнт дифузії, який визначається опором, що надається в'язким середовищем частинці, що рухається в ній. Для сферичних частинок радіусу, а він дорівнює:

D = kT/6pha, (2)

де до - Больцмана постійна, Т -абсолютна температура, h - динамічна в'язкість середовища. Теорія Броунського руху пояснює випадкові рухи частки дією випадкових сил із боку молекул і сил тертя. Випадковий характер сили означає, що її дія за інтервал часу t 1 не залежить від дії за інтервал t 2 , якщо ці інтервали не перекриваються. Середня за досить багато часу сила дорівнює нулю, і середнє зміщення броунівської частки Dc також виявляється нульовим. Висновки теорії Броунівського руху блискуче узгоджуються з експериментом, формули (1) та (2) були підтверджені вимірами Ж. Перрена та Т. Сведберга (1906). На основі цих співвідношень були експериментально визначені постійна Больцмана та Авогадро число у згоді з їх значеннями, отриманими ін. методами. Теорія Броунівського руху відіграла важливу роль в обґрунтуванні статистичної механіки. Крім цього, вона має практичного значення. Насамперед, Броунівський рух обмежує точність вимірювальних приладів. Наприклад, межа точності показань дзеркального гальванометра визначається тремтінням дзеркальця, подібно до броунівської частки бомбардованого молекулами повітря. Законами Броунівського руху визначається випадковий рух електронів, що викликає шуми в електричних ланцюгах. Діелектричні втрати в діелектриках пояснюються випадковими рухами молекул-диполів, що становлять діелектрик. Випадкові рухи іонів у розчинах електролітів збільшують їхній електричний опір.

Поняття Броунівського руху з погляду теорії Хаосу

Броунівський рух - це, наприклад, випадковий та хаотичний рух частинок пилу, зважених у воді. Цей тип руху, можливо, є аспектом фрактальної геометрії, що має найбільше практичне використання. Випадковий Броунівський рух виробляє частотну діаграму, яка може бути використана для передбачення речей, що включають велику кількість даних та статистики. Гарним прикладомє ціни на шерсть, які Мандельброт пророкував за допомогою Броунівського руху.

Частотні діаграми, створені при побудові графіка з урахуванням Броуновских чисел як і можна перетворити на музику. Звичайно, цей тип фрактальної музики зовсім не музичний і може справді втомити слухача.

Заносячи на графік випадково Броунівські числа, можна отримати Пиловий Фрактал на кшталт того, що наведено тут як приклад. Крім застосування Броунівського руху для отримання фракталів із фракталів, він може використовуватися і для створення ландшафтів. У багатьох фантастичних фільмах, як Star Trek техніка Броунівського руху була використана для створення інопланетних ландшафтів таких, як пагорби і топологічні картини високогірних плато.

Ці техніки дуже ефективні і їх можна знайти в книзі Мандельброта Фрактальна геометрія природи. Мандельброт використовував Броунівські лінії для створення фрактальних ліній узбережжя та карт островів (які насправді були просто у випадковому порядку зображені точки) з висоти пташиного польоту.

РУХ БІЛЛІАРДНОЇ КУЛЬКИ

Будь-хто, хто коли-небудь брав у руки кий для більярду, знає, що ключ до гри – точність. Найменша помилка у вугіллі початкового удару може швидко призвести до величезної помилки в положенні кульки лише після кількох зіткнень. Ця чутливість до початкових умов звана хаосом виникає непереборним бар'єром для будь-кого, хто сподівається передбачити чи керувати траєкторією руху кульки більше, ніж після шести чи семи зіткнень. І не варто думати, що проблема полягає в пилу на столі або в нетвердій руці. Фактично, якщо ви використовуєте ваш комп'ютер для побудови моделі, що містить більярдний стіл, що не має жодного тертя, нелюдського контролю точності позиціонування кия, вам все одно не вдасться передбачати траєкторію кульки досить довго!

Наскільки довго? Це залежить частково від точності вашого комп'ютера, але переважно від форми столу. Для абсолютно круглого столу, можна прорахувати приблизно 500 положень зіткнень з помилкою близько 0.1 відсотка. Але варто змінити форму столу так, щоб вона стала хоч трохи неправильною (овальною), і непередбачуваність траєкторії може перевищувати 90 градусів вже після 10 зіткнень! Єдиний шлях отримати картинку загальної поведінки більярдної кульки, що відскакує від чистого столу - це зобразити кут відскоку або довжину дуги, що відповідає кожному удару. Тут наведено два послідовні збільшення такої фазово-просторової картини.

Кожна окрема петля або область розкиду точок представляє поведінку кульки, що походить від набору початкових умов. Область картинки, де відображаються результати якогось одного конкретного експерименту, називається аттракторной областю для цього набору початкових умов. Як можна бачити форма столу, використаного для цих експериментів є, основною частиною атракторних областей, які повторюються послідовно в масштабі, що зменшується. Теоретично, така самоподібність має тривати вічно і якщо ми збільшуватимемо малюнок дедалі більше, ми б отримували ті самі форми. Це називається дуже популярним сьогодні словом фрактал.

ІНТЕГРАЦІЯ ДЕТЕРМІНОВАНИХ ФРАКТАЛІВ І ХАОС

З розглянутих прикладів детерміністських фракталів можна побачити, що вони не виявляють жодної хаотичної поведінки і що вони насправді дуже передбачувані. Як відомо, теорія хаосу використовує фрактал для того, щоб відтворити чи знайти закономірності з метою передбачення поведінки багатьох систем у природі, таких як, наприклад, проблема міграції птахів.

Тепер давайте подивимося, як це насправді відбувається. Використовуючи фрактал, званий Деревом Піфагора, що не розглядається тут (який, до речі, не винайдений Піфагором і ніяк не пов'язаний з теоремою Піфагора) і Броунівського руху (яке хаотично), давайте спробуємо зробити імітацію реального дерева. Впорядкування листя та гілок на дереві досить складно і випадково і, ймовірно, не є чимось досить простим, що може емулювати коротка програма з 12 рядків.

Спочатку потрібно згенерувати Дерево Піфагора (ліворуч). Необхідно зробити товстіший ствол. На цій стадії броунівський рух не використовується. Натомість, кожен відрізок лінії тепер став лінією симетрії прямокутника, який стає стовбуром, та гілок зовні.

Броунівський рух - це безперервне, постійне хаотичне рух зважених у рідині (чи газі) частинок. Назва, що використовується зараз, отримало на честь свого першовідкривача - англійського ботаніка Р. Броуна. У 1827 році ним було проведено досвід, у результаті якого було виявлено броунівський рух. Також вчений звернув увагу на те, що частки не тільки пересуваються по навколишньому середовищі, але й обертаються довкола своєї осі. Оскільки молекулярна теорія будови речовини ще не була створена, повністю проаналізувати процес Броун не зміг.

Сучасні уявлення

В даний час вважається, що броунівський рух викликається зіткненням зважених у рідині або газі частинок з молекулами речовини, що їх оточує. Останні перебувають у постійному русі, що називається тепловим. Вони і викликають хаотичний рух частинок, з яких складається будь-яка речовина. Важливо, що з цим явищем пов'язані два інших: описуваний нами броунівський рух і дифузія (проникнення частинок однієї речовини в інше). Розглядати ці процеси слід у комплексі, оскільки вони пояснюють одне одного. Отже, за рахунок зіткнень з навколишніми молекулами зважені в середовищі частинки знаходяться в безперервному русі, який також є хаотичним. Хаотичність виявляється у непостійності, як напрями, і швидкості.

З погляду термодинаміки

Відомо, що за підвищення температури швидкість броунівського руху також підвищується. Ця залежність легко пояснюється рівнянням для опису середньої кінетичної енергії частинки, що рухається: E=mv 2 =3kT/2, де m - маса частинки, v - швидкість руху частинки, k - постійна Больцмана, і T - зовнішня температура. Як бачимо, квадрат швидкості руху підвішеної частинки прямо пропорційний температурі, отже, при підвищенні температури довкілля збільшується і швидкість. Зазначимо, що основним принципом, на основі якого складено рівняння, є рівність середньої кінетичної енергії частинки кінетичної енергії частинок, що рухається, з яких складається середовище (тобто рідина або газ, в якій вона підвішена). Ця теорія була сформульована А. Ейнштейном і М. Смолуховським приблизно в той самий час незалежно один від одного.

Рух броунівських частинок

Підвішені в рідині або газі частинки рухаються зигзагоподібною траєкторією, поступово віддаляючись від точки початку руху. Знову ж таки Ейнштейн і Смолуховський прийшли до висновку, що для вивчення руху броунівської частки основне значення має не пройдений шлях чи фактична швидкість, а її середнє усунення за певний проміжок часу. Запропоноване Ейнштейном рівняння виглядає так: r 2 =6kTBt. У цій формулі r – середнє зміщення підвішеної частинки, B – її рухливість (ця величина, у свою чергу, знаходиться у зворотній залежності від в'язкості середовища та розміру частинки), t – час. Отже, швидкість руху підвішеної частинки тим вища, що менше в'язкість середовища. Справедливість рівняння експериментально доведено французьким фізиком Ж. Перреном.