Образовательный портал «РЕШУ ОГЭ» — мой личный благотворительный проект. Он развивается мной, а также моими друзьями и коллегами, заботящимися об образовании детей более, чем о себе самих. Никем не финансируется.

Дистанционная обучающая система для подготовки к экзамену «РЕШУ ОГЭ» (http://решуoгэ.рф, http://сайт) создана творческим объединением «Центр интеллектуальных инициатив». Руководитель - учитель математики гимназии № 261 Санкт-Петербурга, Почетный работник общего образования РФ, Учитель года России - 2007, член Федеральной комиссии по разработке контрольно-измерительных материалов по математике для проведения единого государственного экзамена по математике (2009—2010), эксперт Федеральной предметной комиссии ЕГЭ по математике (2011—2012), заместитель председателя региональной предметной комиссии ОГЭ по математике (2012—2014), ведущий эксперт ЕГЭ по математике (2014—2015), федеральный эксперт (2015—2016) Гущин Д. Д.

СЕРВИСЫ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО ПОРТАЛА «РЕШУ ОГЭ»

• Для организации тематического повторения разработан классификатор экзаменационных заданий, позволяющий последовательно повторять те или иные небольшие темы и сразу же проверять свои знания по ним.
• Для организации текущего контроля знаний предоставляется возможность включения в тренировочные варианты работ произвольного количества заданий каждого экзаменационного типа.
• Для проведения итоговых контрольных работ предусмотрено прохождение тестирования в формате ЕГЭ нынешнего года по одному из предустановленных в системе вариантов или по индивидуальному случайно сгенерированному варианту.
• Для контроля уровня подготовки система ведет статистику изученных тем и решенных заданий.
• Для ознакомления с правилами проверки экзаменационных работ дана возможность узнать критерии проверки заданий части С и проверить в соответствии с ними задания с открытым ответом.
• Для предварительной оценки уровня подготовки после прохождения тестирования сообщается прогноз тестового экзаменационного балла по стобалльной шкале.

Базы заданий были специально разработаны для портала «РЕШУ ОГЭ», а также составлены на основе следующих источников: задания открытых банков и официальных сборников для подготовки к ОГЭ; демонстрационные версии ОГЭ и экзаменационные задания, разработанные Федеральным институтом педагогических измерений; диагностические работы, подготовленные Московским институтом открытого образования; тренировочные работы, проводимые органами управления образованием в различных регионах Российской Федерации.

Все используемые в системе задания снабжены ответами и подробными решениями.

Копирование материалов сайта в том числе, но не ограничиваясь: рубрикаторов, заданий, ответов, пояснений и решений, ответов на вопросы читателей, справочников категорически запрещено. Вы можете поставить ссылку на страницы проекта.

ВНИМАНИЕ! ВОРОВСТВО!

• Март 2012: репетитор Анастасия Олендская (Петербург) скопировала на свой сайт задания по математике с нашего портала. После нашего обращения информация была удалена.
• Март 2013: репетитор Андрей Завгородний (Москва) разместил на своем сайте наши задания по математике и физике. После нашего обращения информация была удалена.
• Апрель 2013: Ярослав Домбровский (Новосибирск) разместил все наши задания и решения на своем сайте. После нашего обращения информация была удалена.
• Сентябрь 2013: Ярослав Домбровский (Новосибирск) повторно разместил все наши задания на страницах своего сайта. После на­ше­го обращения ин­фор­ма­ция была удалена.
• Декабрь 2013: учительница математики Елена Конторова (Петербург) разместила наши справочные материалы в разделе «Мои публикации» на своей странице в интернете. После нашего обращения информация была удалена.
• Май 2014: Владислав Ракович (Курган) разместил наши решения заданий на страницах своего сайта под своим именем. После на­ше­го обращения ин­фор­ма­ция была удалена.
• Май 2015: Дмитрий Васильев (smart dev) скопировал почти весь наш сайт в свое мобильное приложение, не поленившись стереть на всех картинках пометки «Решу ЕГЭ». После нашего обращения приложение было удалено.
• Май 2015: учитель Республиканского лицея для одарённых детей (Мордовия) Сазонкин Максим скопировал наши задания с решениями по нескольким предметам, подписал себя автором и разместил ворованные материалы на своём портале и на своей странице В_Контакте. После нашего обращения информация была удалена.
• Декабрь 2015: учительница математики Елена Семенова (МБОУ СОШ № 5 «Школа здоровья и развития» г. Радужный ХМАО-Югра) скопировала несколько тысяч наших заданий с ответами по профильной и базовой математике, подписала их своим именем и разместила ворованные материалы на своём сайте. Вместо извинений Елена Семенова прикинулась, что не получила нашего обращения и не ответила на него. Украденные материалы большей частью удалила.
• Декабрь 2015: учительница математики школы № 62 из Тольятти Анна Белькова скопировала наши задания и разместила материалы на своём сайте. Так же размещены наши задачные каталоги, подписанные Еленой Семёновой из ХМАО. После нашего обращения информация была удалена.
• Декабрь 2015: Индивидуальный предприниматель Лаврентьев А. Б. полностью скопировал задания по восьми предметам нашего сайта с решениями и ответами и разместил их на сайте своей онлайн-школы. Удалять материалы вначале отказался. Был заблокирован на сайтах подбора репетиторов. После этого информация была удалена.
• Март 2016: Студент факультета Компьютерных технологий и прикладной математики Кубанского государственного университета Валерий Шиян организовал копирование наших заданий по нескольким предметам в курируемые им группы В_Контакте. Копирование велось в течение нескольких месяцев, ссылки на источник не ставились. После нашего обращения ссылки были поставлены, студент из администраторов групп исключён.
• Май 2016: Предприниматели из Москвы Зайчиков Алексей и Поваляев Юрий скопировали наши задания на свой сервер для проведения тестирований.
• Сентябрь 2016: Учительница математики Глазырина Светлана Николаевна (МКОУ Подовинновская СОШ, Челябинская область) распечатала все задания по математике с нашего сайта в формате пдф и опубликовала их на своей страницей в сети работников образования. После нашего обращения по месту работы информация была удалена.
• Январь 2017: Генеральный директор ООО «Экзамер» Дегтярёв Артём (https://vk.com/ftrmagic) из Таганрога назвал главную страницу своего сайта «РЕШУ ЕГЭ».

Если вы планируете регулярно пользоваться нашим сайтом, зарегистрируйтесь. Это позволит системе вести статистику решенных вами заданий и давать рекомендации по подготовке к экзамену.

Все сервисы портала бесплатны.

Сделано в Санкт-Петербурге.

ОГЭ по математике – обязательный экзамен для всех выпускников 9-го класса, которые поступают в 10-й класс или покидают школу с целью поступления в другие учебные заведения. Чтобы сдать экзамен ученику, который внимательно и тщательно выполнял все задания на уроках, специфических усилий по подготовке прилагать не приходится. Тем более, если нужен минимальный проходной балл – тройка.

Все задания представлены в 3 направлениях: алгебра, геометрия, реальная математика. Наиболее важная особенность – это ограничение на выполнение заданий в блоках: если решить 2 и менее заданий из части геометрии, оценка будет «2», не играет роли суммарный балл.
Структура не меняется: ученику предлагается выполнить 5 заданий блока геометрии, 8 по алгебре, 7 по реальной математике. Это первая часть испытания – каждый правильный ответ оценивается в 1 балл.
Вторая часть: предполагается решение заданий повышенной сложности, максимальный балл за каждое – 2.

Как эффективно подготовиться к ОГЭ по математике?

• Главное – правильно поставить цель: целью является желаемая оценка.
• Требуется эффективно изучить теорию, пройти программу прошлых классов, ознакомиться с к экзамену.
• Очень важно «набить руку» - имеется в виду регулярная практика в решении заданий по математике разных уровней сложности. Задания одного типа легко научиться решать по образцу – когда доведете процесс до автоматизма, никакой экзамен не будет вызывать трудности.
• Онлайн тестирование поможет погрузиться в атмосферу финального испытания – это просто решение задач, но и тренировка делать это на время. Если имеются систематические ошибки, можно обратиться с ними к репетитору или школьному учителю.
• Если планируется самостоятельная подготовка, стоит начинать ее заранее, дать себе время.
• Учитесь планировать и экономить время.

Основной принцип подготовки – комплексный подход: изучать стоит все темы равномерно, если обнаруживается пробел, этой теме уделяется больше времени. Для качественной подготовки к математике, мало сухой теории, основа успеха на экзамене – умелая практика.

• Геометрия: требует более тщательной подготовки, поскольку на нее в школе отводится намного меньше времени, чем на алгебру. Чтобы справиться с задачами, изучайте правила, законы, алгоритмы решения.
• Алгебра: часть заданий требуют простого следования алгоритмам, более сложные задачи – на построение сложных графиков функций и текстовые задачи.

Чтобы гарантировать себе успех на экзамене, не отказывайтесь от любой возможности тренироваться: посещайте школьные факультативы, онлайн курсы дистанционно, занимайтесь самообразованием, внимательно изучайте темы на уроках.
«Решу ОГЭ по математике» – это простой и доступный способ получить опыт для решения заданий разной сложности на время. Регулярная подготовка позволит грамотно планировать время на экзамене, не нервничать и получить высокий результат.

Государственная итоговая аттестация 2019 года по алгебре (математике) для выпускников 9 класса общеобразовательных учреждений проводится с целью оценки уровня общеобразовательной подготовки выпускников по данной дисциплине. Основные проверяемые требования к математической подготовке учащихся:

1. Уметь выполнять вычисления и преобразования.
2. Пользоваться основными единицами длины, массы, времени, скорости, площади, объёма; выражать более крупные единицы через более мелкие и наоборот.
3. Описывать с помощью функций различные реальные зависимости между величинами; интерпретировать графики реальных зависимостей.
4. Уметь решать уравнения, неравенства и их системы.
5. Решать несложные практические расчетные задачи.
6. Анализировать реальные числовые данные, представленные в таблицах, на диаграммах, графиках.
7. Решать практические задачи, требующие систематического перебора вариантов с использованием аппарата вероятности и статистики.
8. Уметь строить и читать графики функций.
9. Осуществлять практические расчеты по формулам, составлять несложные формулы, выражающие зависимости между величинами.
10. Описывать реальные ситуации на языке геометрии, исследовать построенные модели с использованием геометрических понятий и теорем, решать практические задачи, связанные с нахождением геометрических величин.
11. Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами.
12. Проводить доказательные рассуждения при решении задач, оценивать логическую правильность рассуждений, распознавать ошибочные заключения.
13. Уметь строить и исследовать простейшие математические модели.

В данном разделе вы найдёте онлайн тесты, которые помогут вам подготовиться к сдаче ОГЭ (ГИА) по алгебре (математике). Желаем успехов!

Стандартный тест ОГЭ (ГИА-9) формата 2019-го года состоит из двух модулей: «Алгебра» и «Геометрия». Каждый модуль состоит из двух частей, соответствующих проверке на базовом и повышенном уровнях. Части 2 модулей «Алгебра» и «Геометрия» направлены на проверку владения материалом на повышенном уровне, они содержат сложные задачи, которые не поддаются тестовой оценке, так как проверяющий выставляет оценку на основе сложных критерием и анализа достаточности приведенных учеником обоснований. В связи с этим в данном тесте представлена только первая часть (первые 20 задач). Среди них согласно текущей структуре экзамена варианты ответов предлагаются только в нескольких задачах. Однако, для удобства прохождения тестов администрация сайта сайт предлагает по нескольку вариантов ответа для каждой из задач. Естественно, для задач, в которых варианты ответа составителями реальных контрольно измерительных материалов (КИМ) не предусмотрены, мы решили значительно увеличить количество этих вариантов ответов для того, чтобы максимально приблизить наш тест к тому, с чем Вам придется столкнуться на экзамене.

Стандартный тест ОГЭ (ГИА-9) формата 2019-го года состоит из двух модулей: «Алгебра» и «Геометрия». Каждый модуль состоит из двух частей, соответствующих проверке на базовом и повышенном уровнях. Части 2 модулей «Алгебра» и «Геометрия» направлены на проверку владения материалом на повышенном уровне, они содержат сложные задачи, которые не поддаются тестовой оценке, так как проверяющий выставляет оценку на основе сложных критерием и анализа достаточности приведенных учеником обоснований. В связи с этим в данном тесте представлена только первая часть (первые 20 задач). Среди них согласно текущей структуре экзамена варианты ответов предлагаются только в нескольких задачах. Однако, для удобства прохождения тестов администрация сайта сайт предлагает по нескольку вариантов ответа для каждой из задач. Естественно, для задач, в которых варианты ответа составителями реальных контрольно измерительных материалов (КИМ) не предусмотрены, мы решили значительно увеличить количество этих вариантов ответов для того, чтобы максимально приблизить наш тест к тому, с чем Вам придется столкнуться на экзамене.

Стандартный тест ОГЭ (ГИА-9) формата 2018-го года состоит из двух модулей: «Алгебра» и «Геометрия». Каждый модуль состоит из двух частей, соответствующих проверке на базовом и повышенном уровнях. Части 2 модулей «Алгебра» и «Геометрия» направлены на проверку владения материалом на повышенном уровне, они содержат сложные задачи, которые не поддаются тестовой оценке, так как проверяющий выставляет оценку на основе сложных критерием и анализа достаточности приведенных учеником обоснований. В связи с этим в данном тесте представлена только первая часть (первые 20 задач). Среди них согласно текущей структуре экзамена варианты ответов предлагаются только в нескольких задачах. Однако, для удобства прохождения тестов администрация сайта сайт предлагает по нескольку вариантов ответа для каждой из задач. Естественно, для задач, в которых варианты ответа составителями реальных контрольно измерительных материалов (КИМ) не предусмотрены, мы решили значительно увеличить количество этих вариантов ответов для того, чтобы максимально приблизить наш тест к тому, с чем Вам придется столкнуться на экзамене.

Стандартный тест ОГЭ (ГИА-9) формата 2018-го года состоит из двух модулей: «Алгебра» и «Геометрия». Каждый модуль состоит из двух частей, соответствующих проверке на базовом и повышенном уровнях. Части 2 модулей «Алгебра» и «Геометрия» направлены на проверку владения материалом на повышенном уровне, они содержат сложные задачи, которые не поддаются тестовой оценке, так как проверяющий выставляет оценку на основе сложных критерием и анализа достаточности приведенных учеником обоснований. В связи с этим в данном тесте представлена только первая часть (первые 20 задач). Среди них согласно текущей структуре экзамена варианты ответов предлагаются только в нескольких задачах. Однако, для удобства прохождения тестов администрация сайта сайт предлагает по нескольку вариантов ответа для каждой из задач. Естественно, для задач, в которых варианты ответа составителями реальных контрольно измерительных материалов (КИМ) не предусмотрены, мы решили значительно увеличить количество этих вариантов ответов для того, чтобы максимально приблизить наш тест к тому, с чем Вам придется столкнуться на экзамене.

Стандартный тест ОГЭ (ГИА-9) формата 2017-го года содержит две части. В первой части 3 модуля: Алгебра (8 задач), Геометрия (5 задач), Реальная математика (7 задач). Во второй части 2 модуля: Алгебра (3 задачи) и Геометрия (3 задачи). Вторая часть содержит сложные задачи и не поддается тестовой оценке. Проверяющий выставляет оценку на основе сложных критерием и анализа достаточности приведенных учеником обоснований. В связи с этим в данном тесте представлена только первая часть (первые 20 задач). Среди 20 задач согласно текущей структуре экзамена варианты ответов предлагаются только в нескольких задачах. Однако для удобства прохождения тестов администрация сайта сайт приняла решение предложить для каждой из задач варианты ответов. Естественно, для задач, в которых варианты ответов составителями реальных контрольно измерительных материалов (КИМов) не предусмотрены, мы решили значительно увеличить количество этих вариантов ответов для того, чтобы максимально приблизить наш тест к тому, с чем Вам придется столкнуться в конце учебного года.

Стандартный тест ОГЭ (ГИА-9) формата 2017-го года содержит две части. В первой части 3 модуля: Алгебра (8 задач), Геометрия (5 задач), Реальная математика (7 задач). Во второй части 2 модуля: Алгебра (3 задачи) и Геометрия (3 задачи). Вторая часть содержит сложные задачи и не поддается тестовой оценке. Проверяющий выставляет оценку на основе сложных критерием и анализа достаточности приведенных учеником обоснований. В связи с этим в данном тесте представлена только первая часть (первые 20 задач). Среди 20 задач согласно текущей структуре экзамена варианты ответов предлагаются только в нескольких задачах. Однако для удобства прохождения тестов администрация сайта сайт приняла решение предложить для каждой из задач варианты ответов. Естественно, для задач, в которых варианты ответов составителями реальных контрольно измерительных материалов (КИМов) не предусмотрены, мы решили значительно увеличить количество этих вариантов ответов для того, чтобы максимально приблизить наш тест к тому, с чем Вам придется столкнуться в конце учебного года.

Стандартный тест ОГЭ (ГИА-9) формата 2017-го года содержит две части. В первой части 3 модуля: Алгебра (8 задач), Геометрия (5 задач), Реальная математика (7 задач). Во второй части 2 модуля: Алгебра (3 задачи) и Геометрия (3 задачи). Вторая часть содержит сложные задачи и не поддается тестовой оценке. Проверяющий выставляет оценку на основе сложных критерием и анализа достаточности приведенных учеником обоснований. В связи с этим в данном тесте представлена только первая часть (первые 20 задач). Среди 20 задач согласно текущей структуре экзамена варианты ответов предлагаются только в нескольких задачах. Однако для удобства прохождения тестов администрация сайта сайт приняла решение предложить для каждой из задач варианты ответов. Естественно, для задач, в которых варианты ответов составителями реальных контрольно измерительных материалов (КИМов) не предусмотрены, мы решили значительно увеличить количество этих вариантов ответов для того, чтобы максимально приблизить наш тест к тому, с чем Вам придется столкнуться в конце учебного года.

Стандартный тест ОГЭ (ГИА-9) формата 2017-го года содержит две части. В первой части 3 модуля: Алгебра (8 задач), Геометрия (5 задач), Реальная математика (7 задач). Во второй части 2 модуля: Алгебра (3 задачи) и Геометрия (3 задачи). Вторая часть содержит сложные задачи и не поддается тестовой оценке. Проверяющий выставляет оценку на основе сложных критерием и анализа достаточности приведенных учеником обоснований. В связи с этим в данном тесте представлена только первая часть (первые 20 задач). Среди 20 задач согласно текущей структуре экзамена варианты ответов предлагаются только в нескольких задачах. Однако для удобства прохождения тестов администрация сайта сайт приняла решение предложить для каждой из задач варианты ответов. Естественно, для задач, в которых варианты ответов составителями реальных контрольно измерительных материалов (КИМов) не предусмотрены, мы решили значительно увеличить количество этих вариантов ответов для того, чтобы максимально приблизить наш тест к тому, с чем Вам придется столкнуться в конце учебного года.

Стандартный тест ОГЭ (ГИА-9) формата 2017-го года содержит две части. В первой части 3 модуля: Алгебра (8 задач), Геометрия (5 задач), Реальная математика (7 задач). Во второй части 2 модуля: Алгебра (3 задачи) и Геометрия (3 задачи). Вторая часть содержит сложные задачи и не поддается тестовой оценке. Проверяющий выставляет оценку на основе сложных критерием и анализа достаточности приведенных учеником обоснований. В связи с этим в данном тесте представлена только первая часть (первые 20 задач). Среди 20 задач согласно текущей структуре экзамена варианты ответов предлагаются только в нескольких задачах. Однако для удобства прохождения тестов администрация сайта сайт приняла решение предложить для каждой из задач варианты ответов. Естественно, для задач, в которых варианты ответов составителями реальных контрольно измерительных материалов (КИМов) не предусмотрены, мы решили значительно увеличить количество этих вариантов ответов для того, чтобы максимально приблизить наш тест к тому, с чем Вам придется столкнуться в конце учебного года.

Стандартный тест ОГЭ (ГИА-9) формата 2016-го года содержит две части. В первой части 3 модуля: Алгебра (8 задач), Геометрия (5 задач), Реальная математика (7 задач). Во второй части 2 модуля: Алгебра (3 задачи) и Геометрия (3 задачи). Вторая часть содержит сложные задачи и не поддается тестовой оценке. Проверяющий выставляет оценку на основе сложных критерием и анализа достаточности приведенных учеником обоснований. В связи с этим в данном тесте представлена только первая часть (первые 20 задач). Среди 20 задач согласно текущей структуре экзамена варианты ответов предлагаются только в нескольких задачах. Однако для удобства прохождения тестов администрация сайта сайт приняла решение предложить для каждой из задач варианты ответов. Естественно, для задач, в которых варианты ответов составителями реальных контрольно измерительных материалов (КИМов) не предусмотрены, мы решили значительно увеличить количество этих вариантов ответов для того, чтобы максимально приблизить наш тест к тому, с чем Вам придется столкнуться в конце учебного года.

Стандартный тест ОГЭ (ГИА-9) формата 2016-го года содержит две части. В первой части 3 модуля: Алгебра (8 задач), Геометрия (5 задач), Реальная математика (7 задач). Во второй части 2 модуля: Алгебра (3 задачи) и Геометрия (3 задачи). Вторая часть содержит сложные задачи и не поддается тестовой оценке. Проверяющий выставляет оценку на основе сложных критерием и анализа достаточности приведенных учеником обоснований. В связи с этим в данном тесте представлена только первая часть (первые 20 задач). Среди 20 задач согласно текущей структуре экзамена варианты ответов предлагаются только в нескольких задачах. Однако для удобства прохождения тестов администрация сайта сайт приняла решение предложить для каждой из задач варианты ответов. Естественно, для задач, в которых варианты ответов составителями реальных контрольно измерительных материалов (КИМов) не предусмотрены, мы решили значительно увеличить количество этих вариантов ответов для того, чтобы максимально приблизить наш тест к тому, с чем Вам придется столкнуться в конце учебного года.

Стандартный тест ОГЭ (ГИА-9) формата 2016-го года содержит две части. В первой части 3 модуля: Алгебра (8 задач), Геометрия (5 задач), Реальная математика (7 задач). Во второй части 2 модуля: Алгебра (3 задачи) и Геометрия (3 задачи). Вторая часть содержит сложные задачи и не поддается тестовой оценке. Проверяющий выставляет оценку на основе сложных критерием и анализа достаточности приведенных учеником обоснований. В связи с этим в данном тесте представлена только первая часть (первые 20 задач). Среди 20 задач согласно текущей структуре экзамена варианты ответов предлагаются только в нескольких задачах. Однако для удобства прохождения тестов администрация сайта сайт приняла решение предложить для каждой из задач варианты ответов. Естественно, для задач, в которых варианты ответов составителями реальных контрольно измерительных материалов (КИМов) не предусмотрены, мы решили значительно увеличить количество этих вариантов ответов для того, чтобы максимально приблизить наш тест к тому, с чем Вам придется столкнуться в конце учебного года.

Стандартный тест ОГЭ (ГИА-9) формата 2016-го года содержит две части. В первой части 3 модуля: Алгебра (8 задач), Геометрия (5 задач), Реальная математика (7 задач). Во второй части 2 модуля: Алгебра (3 задачи) и Геометрия (3 задачи). Вторая часть содержит сложные задачи и не поддается тестовой оценке. Проверяющий выставляет оценку на основе сложных критерием и анализа достаточности приведенных учеником обоснований. В связи с этим в данном тесте представлена только первая часть (первые 20 задач). Среди 20 задач согласно текущей структуре экзамена варианты ответов предлагаются только в нескольких задачах. Однако для удобства прохождения тестов администрация сайта сайт приняла решение предложить для каждой из задач варианты ответов. Естественно, для задач, в которых варианты ответов составителями реальных контрольно измерительных материалов (КИМов) не предусмотрены, мы решили значительно увеличить количество этих вариантов ответов для того, чтобы максимально приблизить наш тест к тому, с чем Вам придется столкнуться в конце учебного года.

Стандартный тест ОГЭ (ГИА-9) формата 2016-го года содержит две части. В первой части 3 модуля: Алгебра (8 задач), Геометрия (5 задач), Реальная математика (7 задач). Во второй части 2 модуля: Алгебра (3 задачи) и Геометрия (3 задачи). Вторая часть содержит сложные задачи и не поддается тестовой оценке. Проверяющий выставляет оценку на основе сложных критерием и анализа достаточности приведенных учеником обоснований. В связи с этим в данном тесте представлена только первая часть (первые 20 задач). Среди 20 задач согласно текущей структуре экзамена варианты ответов предлагаются только в нескольких задачах. Однако для удобства прохождения тестов администрация сайта сайт приняла решение предложить для каждой из задач варианты ответов. Естественно, для задач, в которых варианты ответов составителями реальных контрольно измерительных материалов (КИМов) не предусмотрены, мы решили значительно увеличить количество этих вариантов ответов для того, чтобы максимально приблизить наш тест к тому, с чем Вам придется столкнуться в конце учебного года.

Стандартный тест ОГЭ (ГИА-9) формата 2016-го года содержит две части. В первой части 3 модуля: Алгебра (8 задач), Геометрия (5 задач), Реальная математика (7 задач). Во второй части 2 модуля: Алгебра (3 задачи) и Геометрия (3 задачи). Вторая часть содержит сложные задачи и не поддается тестовой оценке. Проверяющий выставляет оценку на основе сложных критерием и анализа достаточности приведенных учеником обоснований. В связи с этим в данном тесте представлена только первая часть (первые 20 задач). Среди 20 задач согласно текущей структуре экзамена варианты ответов предлагаются только в нескольких задачах. Однако для удобства прохождения тестов администрация сайта сайт приняла решение предложить для каждой из задач варианты ответов. Естественно, для задач, в которых варианты ответов составителями реальных контрольно измерительных материалов (КИМов) не предусмотрены, мы решили значительно увеличить количество этих вариантов ответов для того, чтобы максимально приблизить наш тест к тому, с чем Вам придется столкнуться в конце учебного года.

Стандартный тест ОГЭ (ГИА-9) формата 2016-го года содержит две части. В первой части 3 модуля: Алгебра (8 задач), Геометрия (5 задач), Реальная математика (7 задач). Во второй части 2 модуля: Алгебра (3 задачи) и Геометрия (3 задачи). Вторая часть содержит сложные задачи и не поддается тестовой оценке. Проверяющий выставляет оценку на основе сложных критерием и анализа достаточности приведенных учеником обоснований. В связи с этим в данном тесте представлена только первая часть (первые 20 задач). Среди 20 задач согласно текущей структуре экзамена варианты ответов предлагаются только в нескольких задачах. Однако для удобства прохождения тестов администрация сайта сайт приняла решение предложить для каждой из задач варианты ответов. Естественно, для задач, в которых варианты ответов составителями реальных контрольно измерительных материалов (КИМов) не предусмотрены, мы решили значительно увеличить количество этих вариантов ответов для того, чтобы максимально приблизить наш тест к тому, с чем Вам придется столкнуться в конце учебного года.

Стандартный тест ОГЭ (ГИА-9) формата 2016-го года содержит две части. В первой части 3 модуля: Алгебра (8 задач), Геометрия (5 задач), Реальная математика (7 задач). Во второй части 2 модуля: Алгебра (3 задачи) и Геометрия (3 задачи). Вторая часть содержит сложные задачи и не поддается тестовой оценке. Проверяющий выставляет оценку на основе сложных критерием и анализа достаточности приведенных учеником обоснований. В связи с этим в данном тесте представлена только первая часть (первые 20 задач). Среди 20 задач согласно текущей структуре экзамена варианты ответов предлагаются только в нескольких задачах. Однако для удобства прохождения тестов администрация сайта сайт приняла решение предложить для каждой из задач варианты ответов. Естественно, для задач, в которых варианты ответов составителями реальных контрольно измерительных материалов (КИМов) не предусмотрены, мы решили значительно увеличить количество этих вариантов ответов для того, чтобы максимально приблизить наш тест к тому, с чем Вам придется столкнуться в конце учебного года.

Стандартный тест ОГЭ (ГИА-9) формата 2016-го года содержит две части. В первой части 3 модуля: Алгебра (8 задач), Геометрия (5 задач), Реальная математика (7 задач). Во второй части 2 модуля: Алгебра (3 задачи) и Геометрия (3 задачи). Вторая часть содержит сложные задачи и не поддается тестовой оценке. Проверяющий выставляет оценку на основе сложных критерием и анализа достаточности приведенных учеником обоснований. В связи с этим в данном тесте представлена только первая часть (первые 20 задач). Среди 20 задач согласно текущей структуре экзамена варианты ответов предлагаются только в нескольких задачах. Однако для удобства прохождения тестов администрация сайта сайт приняла решение предложить для каждой из задач варианты ответов. Естественно, для задач, в которых варианты ответов составителями реальных контрольно измерительных материалов (КИМов) не предусмотрены, мы решили значительно увеличить количество этих вариантов ответов для того, чтобы максимально приблизить наш тест к тому, с чем Вам придется столкнуться в конце учебного года.

Стандартный тест ОГЭ (ГИА-9) формата 2016-го года содержит две части. В первой части 3 модуля: Алгебра (8 задач), Геометрия (5 задач), Реальная математика (7 задач). Во второй части 2 модуля: Алгебра (3 задачи) и Геометрия (3 задачи). Вторая часть содержит сложные задачи и не поддается тестовой оценке. Проверяющий выставляет оценку на основе сложных критерием и анализа достаточности приведенных учеником обоснований. В связи с этим в данном тесте представлена только первая часть (первые 20 задач). Среди 20 задач согласно текущей структуре экзамена варианты ответов предлагаются только в нескольких задачах. Однако для удобства прохождения тестов администрация сайта сайт приняла решение предложить для каждой из задач варианты ответов. Естественно, для задач, в которых варианты ответов составителями реальных контрольно измерительных материалов (КИМов) не предусмотрены, мы решили значительно увеличить количество этих вариантов ответов для того, чтобы максимально приблизить наш тест к тому, с чем Вам придется столкнуться в конце учебного года.

Стандартный тест ОГЭ (ГИА-9) формата 2015-го года содержит две части. В первой части 3 модуля: Алгебра (8 задач), Геометрия (5 задач), Реальная математика (7 задач). Во второй части 2 модуля: Алгебра (3 задачи) и Геометрия (3 задачи). Вторая часть содержит сложные задачи и не поддается тестовой оценке. Проверяющий выставляет оценку на основе сложных критерием и анализа достаточности приведенных учеником обоснований. В связи с этим в данном тесте представлена только первая часть (первые 20 задач). Среди 20 задач согласно текущей структуре экзамена варианты ответов предлагаются только в нескольких задачах. Однако для удобства прохождения тестов администрация сайта сайт приняла решение предложить для каждой из задач варианты ответов. Естественно, для задач, в которых варианты ответов составителями реальных контрольно измерительных материалов (КИМов) не предусмотрены, мы решили значительно увеличить количество этих вариантов ответов для того, чтобы максимально приблизить наш тест к тому, с чем Вам придется столкнуться в конце учебного года.

Стандартный тест ГИА формата 2014-го года содержит две части. В первой части 3 модуля: Алгебра (8 задач), Геометрия (5 задач), Реальная математика (7 задач). Во второй части 2 модуля: Алгебра (3 задачи) и Геометрия (3 задачи). Вторая часть содержит сложные задачи и не поддается тестовой оценке. Проверяющий выставляет оценку на основе сложных критерием и анализа достаточности приведенных учеником обоснований. В связи с этим в данном тесте представлена только первая часть (первые 20 задач). Среди 20 задач согласно текущей структуре экзамена варианты ответов предлагаются только в четырех задачах. Однако для удобства прохождения тестов администрация сайта сайт приняла решение предложить для каждой из задач варианты ответов. Естественно, для задач, в которых варианты ответов составителями реальных контрольно измерительных материалов (КИМов) не предусмотрены, мы решили значительно увеличить количество этих вариантов ответов для того, чтобы максимально приблизить наш тест к тому, с чем Вам придется столкнуться в конце учебного года.

Стандартный тест ОГЭ (ГИА-9) формата 2015-го года содержит две части. В первой части 3 модуля: Алгебра (8 задач), Геометрия (5 задач), Реальная математика (7 задач). Во второй части 2 модуля: Алгебра (3 задачи) и Геометрия (3 задачи). Вторая часть содержит сложные задачи и не поддается тестовой оценке. Проверяющий выставляет оценку на основе сложных критерием и анализа достаточности приведенных учеником обоснований. В связи с этим в данном тесте представлена только первая часть (первые 20 задач). Среди 20 задач согласно текущей структуре экзамена варианты ответов предлагаются только в нескольких задачах. Однако для удобства прохождения тестов администрация сайта сайт приняла решение предложить для каждой из задач варианты ответов. Естественно, для задач, в которых варианты ответов составителями реальных контрольно измерительных материалов (КИМов) не предусмотрены, мы решили значительно увеличить количество этих вариантов ответов для того, чтобы максимально приблизить наш тест к тому, с чем Вам придется столкнуться в конце учебного года.

При выполнении заданий А1-А14 выберите только один правильный вариант .

При выполнении заданий А1-А16 выберите только один правильный вариант .

Среднее общее образование

Линия УМК Г. К. Муравина. Алгебра и начала математического анализа (10-11) (углуб.)

Линия УМК Мерзляка. Алгебра и начала анализа (10-11) (У)

Математика

Подготовка к ЕГЭ по математике (профильный уровень): задания, решения и объяснения

Разбираем задания и решаем примеры с учителем

Экзаменационная работа профильного уровня длится 3 часа 55 минут (235 минут).

Минимальный порог - 27 баллов.

Экзаменационная работа состоит из двух частей, которые различаются по содержанию, сложности и числу заданий.

Определяющим признаком каждой части работы является форма заданий:

• часть 1 содержит 8 заданий (задания 1-8) с кратким ответом в виде целого числа или конечной десятичной дроби;
• часть 2 содержит 4 задания (задания 9-12) с кратким ответом в виде целого числа или конечной десятичной дроби и 7 заданий (задания 13–19) с развернутым ответом (полная запись решения с обоснованием выполненных действий).

Панова Светлана Анатольевна , учитель математики высшей категории школы, стаж работы 20 лет:

«Для того чтобы получить школьный аттестат, выпускнику необходимо сдать два обязательных экзамена в форме ЕГЭ, один из которых математика. В соответствии с Концепцией развития математического образования в Российской Федерации ЕГЭ по математике разделен на два уровня: базовый и профильный. Сегодня мы рассмотрим варианты профильного уровня».

Задание № 1 - проверяет у участников ЕГЭ умение применять навыки, полученные в курсе 5 - 9 классов по элементарной математике, в практической деятельности. Участник должен владеть вычислительными навыками, уметь работать с рациональными числами, уметь округлять десятичные дроби, уметь переводить одни единицы измерения в другие.

Пример 1. В квартире, где проживает Петр, установили прибор учета расхода холодной воды (счетчик). Первого мая счетчик показывал расход 172 куб. м воды, а первого июня - 177 куб. м. Какую сумму должен заплатить Петр за холодную воду за май, если цена 1 куб. м холодной воды составляет 34 руб 17 коп? Ответ дайте в рублях.

Решение:

1) Найдем количество потраченной воды за месяц:

177 - 172 = 5 (куб м)

2) Найдем сколько денег заплатят за потраченную воду:

34,17 · 5 = 170,85 (руб)

Ответ: 170,85.

Задание № 2 -является одним из простейших заданий экзамена. С ней успешно справляется большинство выпускников, что свидетельствует о владении определением понятия функции. Тип задания № 2 по кодификатору требований - это задание на использования приобретённых знаний и умений в практической деятельности и повседневной жизни. Задание № 2 состоит из описания с помощью функций различных реальных зависимостей между величинами и интерпретация их графиков. Задание № 2 проверяет умение извлекать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках. Выпускникам нужно уметь определять значение функции по значению аргумента при различных способах задания функции и описывать поведение и свойства функции по её графику. Также необходимо уметь находить по графику функции наибольшее или наименьшее значение и строить графики изученных функций. Допускаемые ошибки носят случайный характер в чтении условия задачи, чтении диаграммы.

#ADVERTISING_INSERT#

Пример 2. На рисунке показано изменение биржевой стоимости одной акции добывающей компании в первой половине апреля 2017 года. 7 апреля бизнесмен приобрёл 1000 акций этой компании. 10 апреля он продал три четверти купленных акций, а 13 апреля продал все оставшиеся. Сколько потерял бизнесмен в результате этих операций?

Решение:

2) 1000 · 3/4 = 750 (акций) - составляют 3/4 от всех купленных акций.

6) 247500 + 77500 = 325000 (руб) - бизнесмен получил после продажи 1000 акций.

7) 340000 – 325000 = 15000 (руб) - потерял бизнесмен в результате всех операций.

Ответ: 15000.

Задание № 3 - является заданием базового уровня первой части, проверяет умения выполнять действия с геометрическими фигурами по содержанию курса «Планиметрия». В задании 3 проверяется умение вычислять площадь фигуры на клетчатой бумаге, умение вычислять градусные меры углов, вычислять периметры и т.п.

Пример 3. Найдите площадь прямоугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см на 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение: Для вычисления площади данной фигуры можно воспользоваться формулой Пика:

Для вычисления площади данного прямоугольника воспользуемся формулой Пика:

S = В +	Г
	2

где В = 10, Г = 6, поэтому

S = 18 +	6
	2

Ответ: 20.

Читайте также: ЕГЭ по физике: решение задач о колебаниях

Задание № 4 - задача курса «Теория вероятностей и статистика». Проверяется умение вычислять вероятность события в простейшей ситуации.

Пример 4. На окружности отмечены 5 красных и 1 синяя точка. Определите, каких многоугольников больше: тех, у которых все вершины красные, или тех, у которых одна из вершин синяя. В ответе укажите, на сколько одних больше, чем других.

Решение: 1) Воспользуемся формулой числа сочетаний из n элементов по k :

у которых все вершины красные.

3) Один пятиугольник, у которого все вершины красные.

4) 10 + 5 + 1 = 16 многоугольников, у которых все вершины красные.

у которых вершины красные или с одной синей вершиной.

у которых вершины красные или с одной синей вершиной.

8) Один шестиуголник, у которого вершины красные с одной синей вершиной.

9) 20 + 15 + 6 + 1 = 42 многоуголника, у которых все вершины красные или с одной синей вершиной.

10) 42 – 16 = 26 многоугольников, в которых используется синяя точка.

11) 26 – 16 = 10 многоугольников – на сколько многоугольников, у которых одна из вершин - синяя точка, больше, чем многоугольников, у которых все вершины только красные.

Ответ: 10.

Задание № 5 - базового уровня первой части проверяет умения решать простейшие уравнения (иррациональные, показательные, тригонометрические, логарифмические).

Пример 5. Решите уравнение 2 3 + x = 0,4 · 5 3 + x .

Решение. Разделим обе части данного уравнения на 5 3 + х ≠ 0, получим

2 3 + x	= 0,4 или		2		3 + х	=	2	,
5 3 + х			5				5

откуда следует, что 3 + x = 1, x = –2.

Ответ: –2.

Задание № 6 по планиметрии на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей), моделирование реальных ситуаций на языке геометрии. Исследование построенных моделей с использованием геометрических понятий и теорем. Источником трудностей является, как правило, незнание или неверное применение необходимых теорем планиметрии.

Площадь треугольника ABC равна 129. DE – средняя линия, параллельная стороне AB . Найдите площадь трапеции ABED .

Решение. Треугольник CDE подобен треугольнику CAB по двум углам, так как угол при вершине C общий, угол СDE равен углу CAB как соответственные углы при DE || AB секущей AC . Так как DE – средняя линия треугольника по условию, то по свойству средней линии | DE = (1/2)AB . Значит, коэффициент подобия равен 0,5. Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия, поэтому

Следовательно, S ABED = S ΔABC – S ΔCDE = 129 – 32,25 = 96,75.

Задание № 7 - проверяет применение производной к исследованию функции. Для успешного выполнения необходимо содержательное, не формальное владение понятием производной.

Пример 7. К графику функции y = f (x ) в точке с абсциссой x 0 проведена касательная, которая перпендикулярна прямой, проходящей через точки (4; 3) и (3; –1) этого графика. Найдите f ′(x 0).

Решение. 1) Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две заданные точки и найдём уравнение прямой, проходящей через точки (4; 3) и (3; –1).

(y – y 1)(x 2 – x 1) = (x – x 1)(y 2 – y 1)

(y – 3)(3 – 4) = (x – 4)(–1 – 3)

(y – 3)(–1) = (x – 4)(–4)

–y + 3 = –4x + 16| · (–1)

y – 3 = 4x – 16

y = 4x – 13, где k 1 = 4.

2) Найдём угловой коэффициент касательной k 2 , которая перпендикулярна прямой y = 4x – 13, где k 1 = 4, по формуле:

3) Угловой коэффициент касательной – производная функции в точке касания. Значит, f ′(x 0) = k 2 = –0,25.

Ответ: –0,25.

Задание № 8 - проверяет у участников экзамена знания по элементарной стереометрии, умение применять формулы нахождения площадей поверхностей и объемов фигур, двугранных углов, сравнивать объемы подобных фигур, уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами и т.п.

Объём куба, описанного около сферы, равен 216. Найдите радиус сферы.

Решение. 1) V куба = a 3 (где а – длина ребра куба), поэтому

а 3 = 216

а = 3 √216

2) Так как сфера вписана в куб, значит, длина диаметра сферы равна длине ребра куба, поэтому d = a , d = 6, d = 2R , R = 6: 2 = 3.

Задание № 9 - требует от выпускника навыков преобразования и упрощения алгебраических выражений. Задание № 9 повышенного уровня сложности с кратким ответом. Задания из раздела «Вычисления и преобразования» в ЕГЭ подразделяются на несколько видов:

преобразования числовых рациональных выражений;

преобразования алгебраических выражений и дробей;

преобразования числовых/буквенных иррациональных выражений;

действия со степенями;

преобразование логарифмических выражений;

1. преобразования числовых/буквенных тригонометрических выражений.

Пример 9. Вычислите tgα, если известно, что cos2α = 0,6 и

3π	< α < π.
4

Решение. 1) Воспользуемся формулой двойного аргумента: cos2α = 2 cos 2 α – 1 и найдём

tg 2 α =	1	– 1 =	1	– 1 =	10	– 1 =	5	– 1 = 1	1	– 1 =	1	= 0,25.
	cos 2 α		0,8		8		4		4		4

Значит, tg 2 α = ± 0,5.

3) По условию

3π	< α < π,
4

значит, α – угол II четверти и tgα < 0, поэтому tgα = –0,5.

Ответ: –0,5.

#ADVERTISING_INSERT# Задание № 10 - проверяет у учащихся умение использовать приобретенные раннее знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни. Можно сказать, что это задачи по физике, а не по математике, но все необходимые формулы и величины даны в условии. Задачи сводятся к решению линейного или квадратного уравнения, либо линейного или квадратного неравенства. Поэтому необходимо уметь решать такие уравнения и неравенства, и определять ответ. Ответ должен получиться в виде целого числа или конечной десятичной дроби.

Два тела массой m = 2 кг каждое, движутся с одинаковой скоростью v = 10 м/с под углом 2α друг к другу. Энергия (в джоулях), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении определяется выражением Q = mv 2 sin 2 α. Под каким наименьшим углом 2α (в градусах) должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилось не менее 50 джоулей?
Решение. Для решения задачи нам необходимо решить неравенство Q ≥ 50, на интервале 2α ∈ (0°; 180°).

mv 2 sin 2 α ≥ 50

2· 10 2 sin 2 α ≥ 50

200 · sin 2 α ≥ 50

Так как α ∈ (0°; 90°), то будем решать только

Изобразим решение неравенства графически:

Так как по условию α ∈ (0°; 90°), значит 30° ≤ α < 90°. Получили, что наименьший угол α равен 30°, тогда наименьший угол 2α = 60°.

Задание № 11 - является типовым, но оказывается непростым для учащихся. Главным источником затруднений является построение математической модели (составление уравнения). Задание № 11 проверяет умение решать текстовые задачи.

Пример 11. На весенних каникулах 11-классник Вася должен был решить 560 тренировочных задач для подготовки к ЕГЭ. 18 марта в последний учебный день Вася решил 5 задач. Далее ежедневно он решал на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днём. Определите, сколько задач Вася решил 2 апреля в последний день каникул.

Решение: Обозначим a 1 = 5 – количество задач, которые Вася решил 18 марта, d – ежедневное количество задач, решаемых Васей, n = 16 – количество дней с 18 марта по 2 апреля включительно, S 16 = 560 – общее количество задач, a 16 – количество задач, которые Вася решил 2 апреля. Зная, что ежедневно Вася решал на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днём, то можно использовать формулы нахождения суммы арифметической прогрессии:

560 = (5 + a 16) · 8,

5 + a 16 = 560: 8,

5 + a 16 = 70,

a 16 = 70 – 5

a 16 = 65.

Ответ: 65.

Задание № 12 - проверяют у учащихся умение выполнять действия с функциями, уметь применять производную к исследованию функции.

Найти точку максимума функции y = 10ln(x + 9) – 10x + 1.

Решение: 1) Найдем область определения функции: x + 9 > 0, x > –9, то есть x ∈ (–9; ∞).

2) Найдем производную функции:

4) Найденная точка принадлежит промежутку (–9; ∞). Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Искомая точка максимума x = –8.

Скачать бесплатно рабочую программу по математике к линии УМК Г.К. Муравина, К.С. Муравина, О.В. Муравиной 10-11 Скачать бесплатно методические пособия по алгебре

Задание № 13 -повышенного уровня сложности с развернутым ответом, проверяющее умение решать уравнения, наиболее успешно решаемое среди заданий с развернутым ответом повышенного уровня сложности.

а) Решите уравнение 2log 3 2 (2cosx ) – 5log 3 (2cosx ) + 2 = 0

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

Решение: а) Пусть log 3 (2cosx ) = t , тогда 2t 2 – 5t + 2 = 0,

	log 3 (2cosx ) =	2	⇔		2cosx = 9	⇔		cosx =	4,5	⇔ т.к. |cosx | ≤ 1,
	log 3 (2cosx ) =	1			2cosx = √3			cosx =	√3
		2							2

то cosx =	√3
	2

	x =	π	+ 2πk
		6
	x = –	π	+ 2πk , k ∈ Z
		6

б) Найдём корни, лежащие на отрезке .

Из рисунка видно, что заданному отрезку принадлежат корни

11π	и	13π	.
6		6

Ответ: а)	π	+ 2πk ; –	π	+ 2πk , k ∈ Z ; б)	11π	;	13π	.
	6		6		6		6

Задание № 14 -повышенного уровня относится к заданиям второй части с развернутым ответом. Задание проверяет умения выполнять действия с геометрическими фигурами. Задание содержит два пункта. В первом пункте задание нужно доказать, а во втором пункте вычислить.

Диаметр окружности основания цилиндра равен 20, образующая цилиндра равна 28. Плоскость пересекает его основания по хордам длины 12 и 16. Расстояние между хордами равно 2√197.

а) Докажите, что центры оснований цилиндра лежат по одну сторону от этой плоскости.

б) Найдите угол между этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра.

Решение: а) Хорда длиной 12 находится на расстоянии = 8 от центра окружности основания, а хорда длиной 16, аналогично, – на расстоянии 6. Поэтому расстояние между их проекциями на плоскость, параллельную основаниям цилиндров, составляет либо 8 + 6 = 14, либо 8 − 6 = 2.

Тогда расстояние между хордами составляет либо

= = √980 = = 2√245

= = √788 = = 2√197.

По условию реализовался второй случай, в нем проекции хорд лежат по одну сторону от оси цилиндра. Значит, ось не пересекает данную плоскость в пределах цилиндра, то есть основания лежат по одну сторону от нее. Что требовалось доказать.

б) Обозначим центры оснований за О 1 и О 2 . Проведем из центра основания с хордой длины 12 серединный перпендикуляр к этой хорде (он имеет длину 8, как уже отмечалось) и из центра другого основания - к другой хорде. Они лежат в одной плоскости β, перпендикулярной этим хордам. Назовем середину меньшей хорды B, большей A и проекцию A на второе основание - H (H ∈ β). Тогда AB,AH ∈ β и значит, AB,AH перпендикулярны хорде, то есть прямой пересечения основания с данной плоскостью.

Значит, искомый угол равен

∠ABH = arctg	AH	= arctg	28	= arctg14.
	BH		8 – 6

Задание № 15 - повышенного уровня сложности с развернутым ответом, проверяет умение решать неравенства, наиболее успешно решаемое среди заданий с развернутым ответом повышенного уровня сложности.

Пример 15. Решите неравенство |x 2 – 3x | · log 2 (x + 1) ≤ 3x – x 2 .

Решение: Областью определения данного неравенства является интервал (–1; +∞). Рассмотри отдельно три случая:

1) Пусть x 2 – 3x = 0, т.е. х = 0 или х = 3. В этом случае данное неравенство превращается в верное, следовательно, эти значения входят в решение.

2) Пусть теперь x 2 – 3x > 0, т.е. x ∈ (–1; 0) ∪ (3; +∞). При этом данное неравенство можно переписать в виде (x 2 – 3x ) · log 2 (x + 1) ≤ 3x – x 2 и разделить на положительное выражение x 2 – 3x . Получим log 2 (x + 1) ≤ –1, x + 1 ≤ 2 –1 , x ≤ 0,5 –1 или x ≤ –0,5. Учитывая область определения, имеем x ∈ (–1; –0,5].

3) Наконец, рассмотрим x 2 – 3x < 0, при этом x ∈ (0; 3). При этом исходное неравенство перепишется в виде (3x – x 2) · log 2 (x + 1) ≤ 3x – x 2 . После деления на положительное выражение 3x – x 2 , получим log 2 (x + 1) ≤ 1, x + 1 ≤ 2, x ≤ 1. Учитывая область, имеем x ∈ (0; 1].

Объединяя полученные решения, получаем x ∈ (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Ответ: (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Задание № 16 - повышенного уровня относится к заданиям второй части с развернутым ответом. Задание проверяет умения выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами. Задание содержит два пункта. В первом пункте задание нужно доказать, а во втором пункте вычислить.

В равнобедренном треугольнике ABC с углом 120° при вершине A проведена биссектриса BD. В треугольник ABC вписан прямоугольник DEFH так, что сторона FH лежит на отрезке BC, а вершина E – на отрезке AB. а) Докажите, что FH = 2DH. б) Найдите площадь прямоугольника DEFH, если AB = 4.

Решение: а)

1) ΔBEF – прямоугольный, EF⊥BC, ∠B = (180° – 120°) : 2 = 30°, тогда EF = BE по свойству катета, лежащего против угла 30°.

2) Пусть EF = DH = x , тогда BE = 2x , BF = x √3 по теореме Пифагора.

3) Так как ΔABC равнобедренный, значит, ∠B = ∠C = 30˚.

BD – биссектриса ∠B, значит ∠ABD = ∠DBC = 15˚.

4) Рассмотрим ΔDBH – прямоугольный, т.к. DH⊥BC.

2x	=	4 – 2x
2x (√3 + 1)		4

1	=	2 – x
√3 + 1		2

√3 – 1 = 2 – x

x = 3 – √3

EF = 3 – √3

2) S DEFH = ED · EF = (3 – √3 ) · 2(3 – √3 )

S DEFH = 24 – 12√3.

Ответ: 24 – 12√3.

Задание № 17 - задание с развернутым ответом, это задание проверяет применение знаний и умений в практической деятельности и повседневной жизни, умение строить и исследовать математические модели. Это задание - текстовая задача с экономическим содержанием.

Пример 17. Вклад в размере 20 млн рублей планируется открыть на четыре года. В конце каждого года банк увеличивает вклад на 10% по сравнению с его размером в начале года. Кроме того, в начале третьего и четвёртого годов вкладчик ежегодно пополняет вклад на х млн. рублей, где х - целое число. Найдите наибольшее значение х , при котором банк за четыре года начислит на вклад меньше 17 млн рублей.

Решение: В конце первого года вклад составит 20 + 20 · 0,1 = 22 млн рублей, а в конце второго – 22 + 22 · 0,1 = 24,2 млн рублей. В начале третьего года вклад (в млн рублей) составит (24,2 + х ), а в конце - (24,2 + х) + (24,2 + х) · 0,1 = (26,62 + 1,1х ). В начале четвёртого года вклад составит (26,62 + 2,1х) , а в конце - (26,62 + 2,1х ) + (26,62 + 2,1х ) · 0,1 = (29,282 + 2,31х ). По условию, нужно найти наибольшее целое х, для которого выполнено неравенство

(29,282 + 2,31x ) – 20 – 2x < 17

29,282 + 2,31x – 20 – 2x < 17

0,31x < 17 + 20 – 29,282

0,31x < 7,718

x <	7718
	310

x <	3859
	155

x < 24	139
	155

Наибольшее целое решение этого неравенства - число 24.

Ответ: 24.

Задание № 18 - задание повышенного уровня сложности с развернутым ответом. Это задание предназначено для конкурсного отбора в вузы с повышенными требованиями к математической подготовке абитуриентов. Задание высокого уровня сложности - это задание не на применение одного метода решения, а на комбинацию различных методов. Для успешного выполнения задания 18 необходим, кроме прочных математических знаний, также высокий уровень математической культуры.

При каких a система неравенств

	x 2 + y 2 ≤ 2ay – a 2 + 1
	y + a ≤ |x | – a

имеет ровно два решения?

Решение: Данную систему можно переписать в виде

	x 2 + (y – a ) 2 ≤ 1
	y ≤ |x | – a

Если нарисовать на плоскости множество решений первого неравенства, получится внутренность круга (с границей) радиуса 1 с центром в точке (0, а ). Множество решений второго неравенства – часть плоскости, лежащая под графиком функции y = | x | – a , причём последний есть график функции
y = | x | , сдвинутый вниз на а . Решение данной системы есть пересечение множеств решений каждого из неравенств.

Следовательно, два решения данная система будет иметь лишь в случае, изображённом на рис. 1.

Точки касания круга с прямыми и будут двумя решениями системы. Каждая из прямых наклонена к осям под углом 45°. Значит, треугольник PQR – прямоугольный равнобедренный. Точка Q имеет координаты (0, а ), а точка R – координаты (0, –а ). Кроме того, отрезки PR и PQ равны радиусу окружности, равному 1. Значит,

Qr = 2a = √2, a =	√2	.
	2

Ответ: a =	√2	.
	2

Задание № 19 - задание повышенного уровня сложности с развернутым ответом. Это задание предназначено для конкурсного отбора в вузы с повышенными требованиями к математической подготовке абитуриентов. Задание высокого уровня сложности - это задание не на применение одного метода решения, а на комбинацию различных методов. Для успешного выполнения задания 19 необходимо уметь осуществлять поиск решения, выбирая различные подходы из числа известных, модифицируя изученные методы.

Пусть Sn сумма п членов арифметической прогрессии (а п ). Известно, что S n + 1 = 2n 2 – 21n – 23.

а) Укажите формулу п -го члена этой прогрессии.

б) Найдите наименьшую по модулю сумму S n .

в) Найдите наименьшее п , при котором S n будет квадратом целого числа.

Решение : а) Очевидно, что a n = S n – S n – 1 . Используя данную формулу, получаем:

S n = S (n – 1) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 1) – 23 = 2n 2 – 25n ,

S n – 1 = S (n – 2) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 2) – 23 = 2n 2 – 25n + 27

значит, a n = 2n 2 – 25n – (2n 2 – 29n + 27) = 4n – 27.

Б) Так как S n = 2n 2 – 25n , то рассмотрим функцию S (x ) = | 2x 2 – 25x| . Ее график можно увидеть на рисунке.

Очевидно, что наименьшее значение достигается в целочисленных точках, расположенных наиболее близко к нулям функции. Очевидно, что это точки х = 1, х = 12 и х = 13. Поскольку, S (1) = |S 1 | = |2 – 25| = 23, S (12) = |S 12 | = |2 · 144 – 25 · 12| = 12, S (13) = |S 13 | = |2 · 169 – 25 · 13| = 13, то наименьшее значение равно 12.

в) Из предыдущего пункта вытекает, что Sn положительно, начиная с n = 13. Так как S n = 2n 2 – 25n = n (2n – 25), то очевидный случай, когда данное выражение является полным квадратом, реализуется при n = 2n – 25, то есть при п = 25.

Осталось проверить значения с 13 до 25:

S 13 = 13 · 1, S 14 = 14 · 3, S 15 = 15 · 5, S 16 = 16 · 7, S 17 = 17 · 9, S 18 = 18 · 11, S 19 = 19 · 13, S 20 = 20 · 13, S 21 = 21 · 17, S 22 = 22 · 19, S 23 = 23 · 21, S 24 = 24 · 23.

Получается, что при меньших значениях п полный квадрат не достигается.

Ответ: а) a n = 4n – 27; б) 12; в) 25.

________________

*С мая 2017 года объединенная издательская группа «ДРОФА-ВЕНТАНА» входит в корпорацию «Российский учебник». В корпорацию также вошли издательство «Астрель» и цифровая образовательная платформа «LECTA». Генеральным директором назначен Александр Брычкин, выпускник Финансовой академии при Правительстве РФ, кандидат экономических наук, руководитель инновационных проектов издательства «ДРОФА» в сфере цифрового образования (электронные формы учебников, «Российская электронная школа», цифровая образовательная платформа LECTA). До прихода в издательство «ДРОФА» занимал позицию вице-президента по стратегическому развитию и инвестициям издательского холдинга «ЭКСМО-АСТ». Сегодня издательская корпорация «Российский учебник» обладает самым крупным портфелем учебников, включенных в Федеральный перечень - 485 наименований (примерно 40%, без учета учебников для коррекционной школы). Издательствам корпорации принадлежат наиболее востребованные российскими школами комплекты учебников по физике, черчению, биологии, химии, технологии, географии, астрономии - областям знаний, которые нужны для развития производственного потенциала страны. В портфель корпорации входят учебники и учебные пособия для начальной школы, удостоенные Премии Президента в области образования. Это учебники и пособия по предметным областям, которые необходимы для развития научно-технического и производственного потенциала России.

"А моего варианта нету. Здесь, видимо, только тот регион, в котором Москва числится. И кто больше всех по поводу южных стобалльников возмущается? Москвичи и сами не промах. Так-то."

(Из обсуждений на форуме с ответами к ЕГЭ)

Ровно год назад «Учительская газета» первой в стране подняла тему массовых фальсификаций, происходящих во время сдачи единого государственного экзамена. Вернемся к этой теме и расскажем нашим читателям о том, какие последствия повлекла огласка и как развивались события в течение года. Предоставляем слово нашему постоянному автору, известному петербургскому педагогу, учителю года России-2007 Дмитрию Гущину.

Напомню, что в июне прошлого года группа «Самоподготовка к ЕГЭ и ГИА», созданная в социальной сети ВКонтакте (создатель Ярослав Домбровский, Новосибирск), организовала массовое списывание ЕГЭ по всем школьным предметам. В группе состояло более трехсот тысяч человек: учащиеся 11-х классов, выпускники прошлых лет, учителя, репетиторы. Наибольший размах приобрело списывание ЕГЭ по математике 6 июня 2011 года. К нему готовились заранее: по договоренности с создателем мошеннического сайта «Абитуриент.Про» (Мурат Абдувалиев, Москва) группа проводила набор «доноров» - они присылали варианты ЕГЭ в группу, и «хирургов» - они решали задания и выкладывали решения. Обычные пользователи - выпускники - заходили в Интернет во время экзамена и переписывали решения в экзаменационные бланки.

Идея организаторов была такова: придя на экзамен, учащиеся фотографируют мобильным телефоном свои задания и через него же немедленно отправляют их на страницы группы ВКонтакте. Соответственно были открыты страницы для разных школьных предметов и разных комплектов заданий в зависимости от часового пояса. В день экзамена на каждой из этих страниц непосредственно во время экзамена выкладывались задания и решения к ним. В день ЕГЭ по математике решения заданий для Москвы и Санкт-Петербурга размещались уже через час после начала экзамена. Кроме того, был организован так называемый мобильный сервис: решения реальных вариантов ЕГЭ рассылались прямо на мобильные телефоны. Сервис был платным, однако число его пользователей, по словам организаторов, достигло 100 тысяч человек.

Как выяснилось позже, эта схема уже использовалась годом ранее, но тогда до огласки дело не дошло. Однако в этот раз остаться незамеченными не получилось. Сначала о фальсификациях написала «Учительская газета», затем подключился «Пятый канал», а после того как история заняла верхние строчки всех электронных новостных систем, в дело вмешался Президент России. Вообще вертикаль власти в нашей стране работает только сверху вниз, но никогда снизу вверх. Больше недели на всех пресс-конференциях руководство Федеральной службы по надзору в сфере образования и науки категорически отрицало факт размещения экзаменационных заданий в Интернете. Они даже не делали вида, что хотят разобраться. Но после того как президент позвонил министру образования, а тот сообщил о происходящем на заседании Общественного совета при министерстве, Рособрнадзор признал то, о чем уже неделю говорила вся страна. Списывают.

И что? А ничего. Ну списывают. Более семи тысяч размещенных в Интернете фрагментов заданий передала «Учительская газета» руководителю Рособрнадзора Любови Глебовой. Не произошло ровным счетом ничего. Не было никакой реакции. Экзамены шли, и их продолжали списывать. Приведем фрагмент состоявшегося 24 июня телевизионного эфира «Открытой студии» Пятого канала, в котором помощник руководителя Рособрнадзора Сергей Шатунов излагает позицию надзорного ведомства.

Ведущий: Вот мы узнаем, что за нарушения собираются аннулировать результаты ЕГЭ только у 75 человек. У меня ощущение, что это капля в море от того безобразия, которое произошло.

С. Шатунов: Я думаю, что на самом деле относительно того, что у нас происходит вообще в пунктах приема экзаменов, - это тем более капля в море. У нас на самом деле по окончании каждого ЕГЭ принимаются серьезные решения. И если публичным становится снятие министра республиканского, ну это бог с ним, но это огромное количество голов более низкого звена.

Т. Канделаки: Сергей Петрович, если бы эти меры были бы эффективными, то в этом году результаты не были бы хуже. А ситуация ухудшилась. Что вы предлагаете, чтобы она еще больше не ухудшилась?

С. Шатунов: Ситуация этого года показала, что проблемы все больше и больше, большими утесами встают перед нами. Значит, это говорит о том, что у нас есть комиссия при президенте, может быть, другие общественные институты надо привлекать. И в рамках этой комиссии обсуждать все эти проблемы. Наверняка это будет сделано.

Вот, собственно, и все - «большими утесами» встают проблемы и их надо обсуждать в рамках комиссий. Очень поучительно сравнить отношение к нарушениям закона в России и во Франции. Одновременно с событиями в России там разразился небывалый скандал по тому же поводу: материалы выпускного экзамена по математике для классов с углубленным изучением естественно-научных дисциплин были обнаружены накануне экзамена в сети Интернет.

Экзаменационный вариант для французских школьников представляет собой несколько задач-сюжетов по различным темам курса математики. Один из таких сюжетов оказался в Интернете 20 июня в 21:18 - вечером накануне экзамена. Обнаруженная утечка стала достоянием гласности, и уже утром 22 июня, на следующий день после экзамена, министерство образования провело пресс-конференцию, на которой министр Люк Шатель объявил, что решение обнародованной задачи не будет засчитано никому из 160 тысяч выпускников. В ответ родители требовали аннулировать весь экзамен целиком, отодвинуть школьные каникулы и дать возможность всем учащимся написать экзамен заново. (Это вполне соответствует французской традиции, в аналогичных случаях в 1982 году и 2005 году были приняты именно такие решения.)

Это не все. За 24 часа во Франции нашли и арестовали разместивших в Интернете условие экзаменационной задачи. Двух человек нашли по ip-адресу, на следующий день еще один пришел с повинной - тот, кто им передал фотографию. Ему в свою очередь передал фотографию сотрудник типографии, через несколько дней его тоже нашли и арестовали. По французским законам ответственность за это преступление - 9000 евро штраф и 3 года тюрьмы.

Но у нас другое государство. У нас никого не ищут и никого не наказывают. Чиновники выделяют деньги и осваивают их. Поэтому в соответствии с нашей традицией в августе министерство образования и науки объявило конкурс и в октябре выделило28 миллионов рублей на разработку средств защиты ЕГЭ. По условиям конкурса подрядчик должен был много и тяжело работать. Первые 40 дней работы оценивались министерством в 18 миллионов рублей - это по 500 тысяч в день. Именно так: полтора месяца по полмиллиона рублей каждый день. Но это не все. Потом еще 10 миллионов рублей в течение 10 месяцев, всего-то по миллиону в месяц.

Что предусматривал государственный контракт? Выполнение работ по проекту «Разработка и апробация комплекса мероприятий по мониторингу и контролю публикации КИМов в сети Интернет». Цели и задачи проекта, сформулированные министерством, звучали так: «совершенствование технологии производства КИМов, совершенствование технологии идентификации КИМов, совершенствование технологии работы с федеральным банком тестовых заданий, направленные на защиту информации от утечек». Кроме того, контракт требовал реализовать привлечение к ответственности лиц, опубликовавших КИМы, и формировать правильное общественное отношение к несанкционированным публикациям КИМов в сети Интернет «путем размещения информации в СМИ». И наконец, подрядчик должен был разработать предложения по внесению изменений в Административный и Уголовно-процессуальный кодексы Российской Федерации для привлечения к ответственности лиц, опубликовавших КИМы.

Вы, конечно же, догадываетесь, что все работы были выполнены и оплачены. И вас, конечно же, не удивляет, что результатов нет. А кого это удивляет?

Позавчера мне позвонила одна моя давняя знакомая, несколько последних лет она работает директором школы. Эмоциональная дама. «Ты уже знаешь? - кричала она в трубку. - Да что же это такое? Как так можно?» Оказывается, в школу пришли результаты ГИА. Той самой, которая была выложена в Интернете еще в мае. «Ну конечно, я знаю, - подумал я про себя. - А кто не знает-то?» Знающие люди говорят, что она там третий год уже лежит. ВСЕ ОТВЕТЫ ПО ВСЕМ ПРЕДМЕТАМ выкладываются в Интернет за полмесяца до начала этих экзаменов. Условия, ответы. Ими не пользуется только ленивый. «Можно ли что-то сделать?» - спрашивала моя знакомая на том конце телефонной трубки. «Святая женщина, - подумал я. - И чего она мне звонит? Она бы еще в Рособрнадзор позвонила, там бы просто над ней посмеялись».

Однако в той громкой истории были и те, кто не был к ней безразличен. Это были невидимые участники - анонимное общество двачеров. Я заподозрил об их существовании, случайно наткнувшись в Интернете на призыв атаковать серверы сайтов, продающих решения ЕГЭ. В инструкции было подробно указано, как действовать оптимально: где скачать атакующее программное обеспечение, какие настройки выставить, как начать атаку - многократные одновременные массовые обращения к серверу, вызывающие его зависание. Анонимы не знали друг друга и все обсуждение вели на специализированных форумах. Их старания увенчались успехом. Один из серверов был выведен из строя. Позже двачеры связались со мной. Помимо атак на торгующие решениями серверы, они развернули широкое размещение предложений обратиться к ним за решениями задач, но спрашивали у школьников номер паспорта и контрольно-измерительного материала. Данные школьников и номера их КИМов, а также подробную информацию о владельцах мошеннических сайтов, включая домашние адреса, телефоны и даже данные о родственниках, анонимусы просили передать в прокуратуру. Я переслал их материалы на электронный адрес Генеральной прокуратуры.

Через месяц прокуратура ответила действием: меня вызвали к прокурору, который сообщил, что обращение в Генеральную прокуратуру прислано по месту жительства заявителя. Он поинтересовался, кто из петербургских школьников замешан в скандале. Узнав, что таковых данных у меня нет, молодой человек пообещал ответить письменно. И через два дня прислал письмо, из которого следовало, что поскольку о нарушениях закона в Петербурге неизвестно, прокуратура переправляет материалы в Новосибирск по месту жительства администратора группы ВКонтакте Ярослава Домбровского. Его вызвали в прокуратуру, после чего группа была закрыта. Я получил письмо о том, что в связи с закрытием группы «правонарушений в Советском районе Новосибирска не совершается». А группа через некоторое время продолжила свою работу.

Пик ее активности, как и прежде, пришелся на экзаменационную пору. Лихорадочное возбуждение началось 28 мая, в день экзаменов по биологии, истории и информатике. Как обычно: одни размещают варианты ЕГЭ, другие решают, третьи читают. Однако неожиданно для них через несколько часов группу заблокировали. К математике она восстановилась.

Итак, прошел год. 7 июня в России вновь писали ЕГЭ по математике. В 3 часа ночи появились варианты с Дальнего Востока. Они были повсюду - на многих сайтах, в десятках групп, на личных страницах ВКонтакте. То, что на одних сайтах выкладывали бесплатно, на других продавали за деньги. И оказалось, что это те самые варианты, которые уже несколько дней гуляли по Интернету, передаваясь из рук в руки, условия экзаменационных заданий были известны за 4 дня до экзамена! И не помогли ни президент, ни потраченные миллионы.

Год назад я заканчивал свой грустный рассказ следующими словами: я уверен, что если сейчас ничего не сделать, если не отыскать и не наказать взрослых, которые развращают детей, если закрыть глаза и уши, сделать вид, что ничего страшного не случилось, то дальше проводить ГИА и ЕГЭ просто аморально. В таком исполнении, как сегодня, эти экзамены приносят не пользу, а вред.

«Что же изменилось?» - спросите вы. Да ничего. Только цены немного выросли.